משולשים

משולשהוא דמות המורכבת משלוש נקודות שאינן שוכנות על אותו קו, ושלושה קטעים המחברים את הנקודות הללו בזוגות. הנקודות נקראות פסגותמשולש, והקטעים הם שלו מסיבות.

סוגי משולשים

המשולש נקרא שְׁוֵה שׁוֹקַיִם,אם שתי צלעותיו שוות. צלעות שוות אלו נקראות צדדים,והצד השלישי נקרא בָּסִיסמשולש.

משולש שבו כל הצלעות שוות נקרא שְׁוֵה צְלָעוֹתאוֹ נכון.

המשולש נקרא מַלבֵּנִי,אם יש לו זווית ישרה, אז יש זווית של 90°. הצלע של משולש ישר זווית מול הזווית הישרה נקראת אֲלַכסוֹן,שני הצדדים האחרים נקראים רגליים.

המשולש נקרא חַד,אם כל שלוש הזוויות שלו חדות, כלומר פחות מ-90°.

המשולש נקרא קֵהֶה,אם אחת מהזוויות שלו קהה, כלומר יותר מ-90°.

קווים בסיסיים של המשולש

חֲצִיוֹן

חֲצִיוֹןשל משולש הוא קטע המחבר את קודקוד המשולש עם אמצע הצלע הנגדית של משולש זה.

מאפיינים של חציוני משולש

החציון מחלק משולש לשני משולשים בעלי שטח שווה.

החציונים של משולש מצטלבים בנקודה אחת, המחלקת כל אחד מהם ביחס של 2:1, בספירה מהקודקוד. נקודה זו נקראת מרכז כוח המשיכהמשולש.

המשולש כולו מחולק לפי החציונים שלו לשישה משולשים שווים.

חוֹצֶה

חוצה זוויתהיא קרן הבוקעת מלמעלה, עוברת בין צלעותיה וחוצה זווית נתונה. חוצה של משולשנקרא קטע חצוי של זווית של משולש המחברת קודקוד לנקודה בצד הנגדי של משולש זה.

תכונות של חצויים משולשים

גוֹבַה

גוֹבַהשל משולש הוא האנך הנמשך מקודקוד המשולש לישר המכיל את הצלע הנגדית של משולש זה.

מאפיינים של גבהים משולשים

IN משולש ישר זוויתהגובה שנמשך מקודקוד זווית ישרה מחלק אותו לשני משולשים, דוֹמֶהמְקוֹרִי.

IN משולש חריףשני גבהיו מנותקים ממנו דוֹמֶהמשולשים.

חציון ניצב

קו ישר העובר באמצע קטע מאונך אליו נקרא חוצה מאונךלקטע .

מאפיינים של חצויים מאונכים של משולש

כל נקודה של חוצה הניצב של קטע נמצאת במרחק שווה מקצוות הקטע הזה. גם ההיפך נכון: כל נקודה שנמצאת במרחק שווה מקצוות קטע נמצאת על חוצה הניצב אליה.

נקודת החיתוך של חצויים הניצבים המצוירים לצלעות המשולש היא המרכז מעגל של משולש זה.

קו אמצעי

הקו האמצעי של המשולשנקרא קטע המחבר את נקודות האמצע של שתי צלעותיו.

תכונה של קו האמצע של משולש

קו האמצע של משולש מקביל לאחת מצלעותיו ושווה למחצית הצלע.

נוסחאות ויחסים

סימני שוויון של משולשים

שני משולשים שווים אם הם שווים בהתאמה:

שני צדדים והזווית ביניהם;

שתי פינות והצד הסמוך אליהן;

שלושה צדדים.

סימני שוויון של משולשים ישרים

שתיים משולש ישר זוויתשווים אם הם שווים בהתאמה:

אֲלַכסוֹןוזווית חדה;

רגלוהזווית ההפוכה;

רגלוזווית סמוכה;

שתיים רגל;

אֲלַכסוֹןו רגל.

דמיון של משולשים

שני משולשים דוֹמֶהאם אחד מהתנאים הבאים, נקרא סימני דמיון:

שתי זוויות של משולש אחד שוות לשתי זוויות של משולש אחר;

שתי צלעות של משולש אחד פרופורציונליות לשתי צלעות של משולש אחר, והזוויות שנוצרות על ידי צלעות אלו שוות;

שלוש הצלעות של משולש אחד פרופורציונליות בהתאמה לשלוש הצלעות של המשולש השני.

במשולשים דומים הקווים המתאימים ( גבהים, חציונים, חצוייםוכו') הם פרופורציונליים.

משפט הסינוסים

צלעות המשולש פרופורציונליות לסינוסים של הזוויות הנגדיות, ומקדם המידתיות שווה ל קוֹטֶר מעגל מוקף של משולש:

משפט קוסינוס

הריבוע של צלע במשולש שווה לסכום הריבועים של שתי הצלעות האחרות פחות פי שניים מהמכפלה של הצלעות הללו והקוסינוס של הזווית ביניהן:

א 2 = ב 2 + ג 2 - 2לִפנֵי הַסְפִירָהחַסַת עָלִים

נוסחאות שטח משולש

משולש חופשי

א ב ג -צדדים; - זווית בין הצדדים או ב;- חצי היקפי; ר-רדיוס עיגול מוקף; ר-רדיוס המעגל הכתוב; S-כיכר; ח א - גובה נמשך הצידה א.

כאשר לומדים מתמטיקה, התלמידים מתחילים להכיר סוגים שונים של צורות גיאומטריות. היום נדבר על סוגים שונים של משולשים.

הַגדָרָה

דמויות גיאומטריות המורכבות משלוש נקודות שאינן על אותו קו נקראות משולשים.

הקטעים המחברים את הנקודות נקראים צלעות, והנקודות נקראות קודקודים. קודקודים מסומנים באותיות גדולות, למשל: A, B, C.

הצדדים מסומנים בשמות שתי הנקודות שמהן הן מורכבות - AB, BC, AC. מצטלבים, הצדדים יוצרים זוויות. הצד התחתון נחשב לבסיס הדמות.

אורז. 1. משולש ABC.

סוגי משולשים

משולשים מסווגים לפי זוויות וצלעות. לכל סוג של משולש יש תכונות משלו.

ישנם שלושה סוגים של משולשים בפינות:

• בעל זווית חדה;
• מַלבֵּנִי;
• זווית קהה.

כל הזוויות בעל זווית חדהמשולשים הם חדים, כלומר, מידת התואר של כל אחד מהם אינה עולה על 90 0.

מַלבֵּנִימשולש מכיל זווית ישרה. שתי הזוויות האחרות תמיד יהיו חדות, שכן אחרת סכום הזוויות של המשולש יעלה על 180 מעלות, וזה בלתי אפשרי. הצלע שממול לזווית הישרה נקראת תחתית, והשתיים האחרות נקראות רגליים. התחתון תמיד גדול יותר מהרגל.

קֵהֶההמשולש מכיל זווית קהה. כלומר, זווית גדולה מ-90 מעלות. שתי הזוויות האחרות במשולש כזה יהיו חדות.

אורז. 2. סוגי משולשים בפינות.

משולש פיתגורי הוא מלבן שצלעותיו הן 3, 4, 5.

יתר על כן, הצד הגדול יותר הוא התחתון.

משולשים כאלה משמשים לעתים קרובות לבניית בעיות פשוטות בגיאומטריה. לכן, זכור: אם שתי צלעות של משולש שוות ל-3, אז השלישי בהחלט יהיה 5. זה יפשט את החישובים.

סוגי משולשים בצדדים:

• שְׁוֵה צְלָעוֹת;
• שְׁוֵה שׁוֹקַיִם;
• מגוון.

שְׁוֵה צְלָעוֹתמשולש הוא משולש שבו כל הצלעות שוות. כל הזוויות של משולש כזה שוות ל-60 0, כלומר, הוא תמיד חד.

שְׁוֵה שׁוֹקַיִםמשולש - משולש עם שתי צלעות שוות בלבד. הצדדים האלה נקראים לרוחב, והשלישי נקרא הבסיס. בנוסף, הזוויות בבסיס משולש שווה שוקיים שוות ותמיד חדות.

מגווןאו משולש שרירותי הוא משולש שבו כל האורכים וכל הזוויות אינן שוות זו לזו.

אם הבעיה אינה מכילה הבהרות לגבי הדמות, אז מקובל בדרך כלל שאנחנו מדברים על משולש שרירותי.

אורז. 3. סוגי משולשים בצדדים.

סכום כל הזוויות של משולש, ללא קשר לסוגו, הוא 1800.

מול הזווית הגדולה נמצאת הצלע הגדולה יותר. וגם אורך כל צלע תמיד קטן מסכום שתי הצלעות האחרות שלה. תכונות אלו מאושרות על ידי משפט אי השוויון המשולש.

יש מושג של משולש הזהב. זהו משולש שווה שוקיים, שבו שתי צלעות פרופורציונליות לבסיס ושוות למספר מסוים. באיור כזה, הזוויות פרופורציונליות ליחס 2:2:1.

מְשִׁימָה:

האם יש משולש שצלעותיו הן 6 ס"מ, 3 ס"מ, 4 ס"מ?

פִּתָרוֹן:

כדי לפתור משימה זו אתה צריך להשתמש באי השוויון א

מה למדנו?

מחומר זה מתוך קורס מתמטיקה בכיתה ה' למדנו שמשולשים מסווגים לפי צלעותיהם וגודל הזוויות שלהם. למשולשים יש תכונות מסוימות שניתן להשתמש בהן כדי לפתור בעיות.

ייעודים סטנדרטיים

משולש עם קודקודים א, בו גמסומן כ (ראה איור). למשולש שלוש צלעות:

אורכי הצלעות של משולש מסומנים באותיות לטיניות קטנות (a, b, c):

למשולש יש את הזוויות הבאות:

ערכי הזווית בקודקודים המתאימים מסומנים באופן מסורתי באותיות יווניות (α, β, γ).

סימני שוויון של משולשים

ניתן לקבוע משולש במישור האוקלידי באופן ייחודי (עד קונגרונציה) על ידי השלשות הבאות של יסודות בסיסיים:

1. a, b, γ (שוויון בשני הצדדים והזווית השוכנת ביניהם);
2. a, β, γ (שוויון בצד ושתי זוויות סמוכות);
3. a, b, c (שוויון בשלושה צדדים).

סימני שוויון של משולשים ישרים:

1. לאורך הרגל והתחתון;
2. על שתי רגליים;
3. לאורך הרגל והזווית החדה;
4. לאורך התחתון והזווית החדה.

כמה נקודות במשולש "מזוגות". לדוגמה, ישנן שתי נקודות שמהן כל הצדדים נראים בזווית של 60° או בזווית של 120°. קוראים להם נקודות טוריצ'לי. ישנן גם שתי נקודות שההטלות שלהן על הצדדים נמצאות בקודקודים של משולש רגיל. זה - אפולוניוס מצביע. נקודות וכאלה נקראות נקודות ברוקארד.

ישיר

בכל משולש, מרכז הכובד, האורתוסנטר ומרכז העיגול נמצאים על אותו קו ישר, הנקרא הקו של אוילר.

הקו הישר העובר דרך מרכז המעגל ונקודת ה-Lemoine נקרא ציר ברוקארד. נקודות אפולוניוס מוטלות עליו. גם נקודת הטוריצ'לי ונקודת למואן שוכנות על אותו קו. הבסיסים של חצויים החיצוניים של זוויות משולש שוכנים על אותו קו ישר, הנקרא ציר חצויים חיצוניים. נקודות החיתוך של הקווים המכילים את צלעותיו של משולש אורתו-זווית כשהקווים המכילים את צלעות המשולש שוכנות אף הן על אותו הישר. הקו הזה נקרא ציר אורתוצנטרי, הוא מאונך לקו הישר אוילר.

אם ניקח נקודה במעגל המקיף של משולש, אזי ההקרנות שלה על צלעות המשולש יהיו על אותו קו ישר, הנקרא סימסון סטרייטהנקודה הזו. הקווים של סימסון של נקודות מנוגדות בדימטריה מאונכים.

משולשים

• משולש עם קודקודים בבסיסים הנמשכים דרך נקודה נתונה נקרא משולש סוויאניהנקודה הזו.
• משולש עם קודקודים בהטלות של נקודה נתונה על הצלעות נקרא טִפֵּשׁאוֹ משולש דוושההנקודה הזו.
• משולש עם קודקודים בנקודות החיתוך השניות של קווים המצוירים דרך הקודקודים ונקודה נתונה עם המעגל המוקף נקרא משולש היקפי. המשולש ההיקפי דומה למשולש הסודה.

מעגלים

• עיגול רשום- עיגול הנוגע בכל שלושת צלעות המשולש. היא היחידה. מרכז המעגל הכתוב נקרא במרכז.
• מעגל מעגל- מעגל העובר דרך כל שלושת הקודקודים של משולש. גם המעגל המוקף הוא ייחודי.
• הסר מעגל- עיגול הנוגע בצד אחד של המשולש והמשך שתי הצלעות האחרות. יש שלושה עיגולים כאלה במשולש. המרכז הרדיקלי שלהם הוא מרכז המעגל הכתוב של המשולש המדיאלי, הנקרא הנקודה של ספייקר.

נקודות האמצע של שלוש צלעות המשולש, בסיסי שלושת הגבהים שלו ונקודות האמצע של שלושת הקטעים המחברים את קודקודיו עם האורתוסנטר נמצאים על עיגול אחד הנקרא מעגל של תשע נקודותאוֹ מעגל אוילר. מרכז המעגל בן תשע הנקודות נמצא על קו אוילר. עיגול של תשע נקודות נוגע בעיגול רשום ושלושה עיגולים. נקודת המגע בין המעגל הכתוב למעגל של תשע הנקודות נקראת נקודת פיירבאך. אם מכל קודקוד נשכב כלפי חוץ מהמשולש על קווים ישרים המכילים את הצלעות, אורתוזים שווים באורכם לצדדים הנגדיים, אז שש הנקודות שהתקבלו נמצאות על אותו עיגול - מעגל קונווי. ניתן לרשום שלושה עיגולים בכל משולש באופן שכל אחד מהם נוגע בשתי צלעות של המשולש ובשני עיגולים אחרים. מעגלים כאלה נקראים מעגלי מלפטי. מרכזי המעגלים המוקפים של ששת המשולשים שאליהם מחולק המשולש באמצעים נמצאים על עיגול אחד, הנקרא היקף לאמון.

למשולש יש שלושה עיגולים הנוגעים בשתי צלעות של המשולש והמעגל המקיף. מעגלים כאלה נקראים רשום למחצהאוֹ מעגלים של Verrier. הקטעים המחברים את נקודות המשיכה של עיגולי Verrier עם המעגל המקיף מצטלבים בנקודה אחת הנקראת הנקודה של ורייר. הוא משמש כמרכז של הומותטיה, ההופכת עיגול מעגל למעגל חרוט. נקודות המגע של עיגולי Verrier עם הצדדים שוכנות על קו ישר העובר במרכז המעגל הכתוב.

הקטעים המחברים את נקודות המשיכה של המעגל הכתוב עם הקודקודים מצטלבים בנקודה אחת הנקראת נקודת ז'רגון, והקטעים המחברים את הקודקודים עם נקודות המשיכה של המעגלים נמצאים בפנים נקודת נאגל.

אליפסות, פרבולות והיפרבולות

חרוט חרוט (אליפסה) והמשקף שלו

ניתן לרשום מספר אינסופי של חרוטים (אליפסות, פרבולות או היפרבולות) במשולש. אם נרשום חרוט שרירותי למשולש ונחבר את הנקודות המשיקות עם קודקודים מנוגדים, אז הקווים הישרים המתקבלים יצטלבו בנקודה אחת שנקראת פרוספקטדרגשים. עבור כל נקודה של המטוס שאינה שוכבת על צד או על הרחבה שלו, יש חרוט חרוט עם צופה בנקודה זו.

אליפסת שטיינר המתוארת והסוויאן העוברים במוקדיה

אתה יכול לרשום אליפסה למשולש, שנוגע בצדדים שבאמצע. אליפסה כזו נקראת רשום אליפסה של שטיינר(הפרספקטיבה שלו תהיה מרכז המשולש). האליפסה המוקפת, הנוגעת בקווים העוברים דרך הקודקודים המקבילים לצדדים, נקראת מתואר על ידי אליפסת שטיינר. אם נהפוך משולש למשולש רגיל באמצעות טרנספורמציה קשורה ("הטיה"), אז אליפסת השטיינר הכתובה והמוקפת שלו תהפוך למעגל חרוט ומוקף. הקווים השוויאניים שנמשכו דרך המוקדים של אליפסת שטיינר המתוארת (נקודות סקוטין) שווים (משפט סקוטין). מבין כל האליפסות המתוארות, לאליפסת שטיינר המתוארת יש את השטח הקטן ביותר, ומכל האליפסות הכתובות, לאליפסת שטיינר הכתובה יש את השטח הגדול ביותר.

אליפסת ברוקארד והמשקיף שלה - נקודת Lemoine

אליפסה עם מוקדים בנקודות ברוקארד נקראת אליפסת ברוקארד. נקודת המבט שלו היא נקודת הלמואין.

תכונות של פרבולה כתובה

פרבולה של קיפרט

הסיכויים של הפרבולות הכתובות טמונים על אליפסת שטיינר המתוארת. המוקד של פרבולה כתובה נמצא על המעגל, והכיוון עובר דרך האורתוסנטר. פרבולה הרשומה במשולש ובעלת הכיוון של אוילר ככיוון שלה נקראת פרבולה של קיפרט. המבט שלו הוא נקודת החיתוך הרביעית של המעגל המוקף ושל אליפסת שטיינר המוקפת, הנקראת נקודת שטיינר.

ההיפרבול של קיפרט

אם ההיפרבולה המתוארת עוברת דרך נקודת החיתוך של הגבהים, אז היא שווה צלעות (כלומר, האסימפטוטות שלה מאונכות). נקודת החיתוך של האסימפטוטים של היפרבולה שווה צלעות נמצאת על המעגל של תשע נקודות.

טרנספורמציות

אם הקווים העוברים דרך הקודקודים ונקודה כלשהי שאינה שוכבת על הצדדים והרחבות שלהם משתקפות ביחס לחצויים המקבילים, אז גם התמונות שלהם יצטלבו בנקודה אחת, הנקראת מצומד בצורה איזוגונליתהמקורי (אם הנקודה מונחת על המעגל המוקף, הקווים המתקבלים יהיו מקבילים). זוגות רבים של נקודות יוצאות דופן מצומדות בצורה איזוגונלית: המרכז ההיקפי והאורתוסנטר, המרכז ונקודת הלמואין, נקודות ברוקארד. נקודות אפולוניוס מצומדות באופן איזוגונלי לנקודות טוריצ'לי, ומרכז המעגל הכתוב מצומד לעצמו באופן איזוגונלי. תחת הפעולה של צימוד איזוגונלי, קווים ישרים הופכים לחרוטים מוקפים, וחרוטים מוקפים לקווים ישרים. לפיכך, ההיפרבולה של קיפרט וציר הברוכרד, ההיפרבולה של ג'נזבק והקו הישר אוילר, ההיפרבולה של פיירבאך וקו המרכזים של המעגלים הכתובים והמוקפים מצומדים בצורה איזוגונלית. המעגלים המקיפים של משולשי הנקודות המצומדות בצורה איזוגונלית חופפים. המוקדים של אליפסות חרוטות מצומדים בצורה איזוגונלית.

אם במקום סוויאן סימטרי, ניקח סוויאן שהבסיס שלו מרוחק מאמצע הצד כמו הבסיס של זה המקורי, אז גם סוויאן כאלה יצטלבו בנקודה אחת. הטרנספורמציה המתקבלת נקראת צימוד איזוטומי. זה גם ממיר קווים ישרים לקוניקים המתוארים. נקודות ג'רגון ונאגל מצומדות איזוטומית. תחת טרנספורמציות זיקה, נקודות מצומדות איזוטומי הופכות לנקודות מצומדות איזוטומית. עם צימוד איזוטומי, אליפסת שטיינר המתוארת תיכנס לקו הישר המרוחק לאין שיעור.

אם בקטעים המנותקים על ידי צלעות המשולש מהמעגל, אנו רושמים עיגולים הנוגעים בצדדים בבסיסי הסוויאן הנמשכים דרך נקודה מסוימת, ואז מחברים את נקודות המשיק של המעגלים הללו עם המעגל עם קודקודים מנוגדים, אז קווים ישרים כאלה יצטלבו בנקודה אחת. נקראת טרנספורמציה מישורית התואמת את הנקודה המקורית לנקודה שהתקבלה טרנספורמציה אי-מעגלית. ההרכב של צימודים איזוגונליים ואיזוטומיים הוא הרכב של טרנספורמציה איזו-מעגלית עם עצמו. קומפוזיציה זו היא טרנספורמציה השלכתית, המשאירה את צלעות המשולש במקומן, והופכת את ציר החצויים החיצוניים לקו ישר באינסוף.

אם נמשיך את הצלעות של משולש שוויאני של נקודה מסוימת וניקח את נקודות החיתוך שלהן עם הצלעות המתאימות, אזי נקודות החיתוך שיתקבלו ישכבו על קו ישר אחד, הנקרא קוטבי תלת-ליניארינקודת התחלה. הציר האורתוצנטרי הוא הקוטב התלת-ליניארי של האורתוסנטר; הקוטב התלת-ליניארי של מרכז המעגל הכתוב הוא ציר החצויים החיצוניים. קוטבים תלת-לינאריים של נקודות השוכבים על חרוט מוקף מצטלבים בנקודה אחת (עבור מעגל מוקף זוהי נקודת הלמואין, עבור אליפסת שטיינר מוקפת זהו המרכז). ההרכב של צמוד איזוגונלי (או איזוטומי) וקוטב תלת-ליניארי הוא טרנספורמציה של דואליות (אם נקודה איזוגונלית (איזוטומית) מצומדת לנקודה נמצאת על הקוטב התלת-ליניארי של נקודה, אז הקוטב התלת-ליניארי של נקודה איזוגונלית (איזוטומית) מצמידים לנקודה נמצאת על הקוטב התלת-ליניארי של נקודה).

קוביות

יחסים במשולש

הערה:בסעיף זה, , הם אורכי שלושת צלעות המשולש, ו- , האם זוויות המונחות בהתאמה מול שלוש הצלעות הללו (זוויות הפוכות).

אי שוויון במשולש

במשולש לא מנוון, סכום אורכי שתי צלעותיו גדול מאורך הצלע השלישית, במשולש מנוון הוא שווה. במילים אחרות, אורכי הצלעות של משולש קשורות באי השוויון הבאות:

אי השוויון במשולש הוא אחת האקסיומות של המטריות.

משפט סכום זווית משולש

משפט הסינוסים

כאשר R הוא רדיוס המעגל המוקף סביב המשולש. מהמשפט עולה שאם א< b < c, то α < β < γ.

משפט קוסינוס

משפט טנג'נט

יחסים אחרים

יחסי מטרי במשולש ניתנים עבור:

פתרון משולשים

חישוב הצלעות והזוויות הלא ידועות של משולש על סמך אלו הידועים נקרא בעבר "פתרון משולשים". נעשה שימוש במשפטים הטריגונומטריים הכלליים לעיל.

שטח של משולש

עבור האזור תקפים אי השוויון הבאים:

חישוב שטח משולש במרחב באמצעות וקטורים

תנו לקודקודים של המשולש להיות בנקודות , , .

בואו נציג את וקטור השטח . אורכו של וקטור זה שווה לשטח המשולש, והוא מכוון נורמלי למישור המשולש:

תן לנו להגדיר , היכן , , הן ההקרנות של המשולש על מישורי הקואורדינטות. איפה

ובדומה

שטח המשולש הוא .

חלופה היא לחשב את אורכי הצלעות (באמצעות משפט פיתגורס) ולאחר מכן להשתמש בנוסחה של הרון.

משפטי משולשים

משפט דסרגוס: אם שני משולשים הם פרספקטיבה (הקווים העוברים דרך הקודקודים התואמים של המשולשים מצטלבים בנקודה אחת), אז הצלעות המתאימות שלהם מצטלבות באותו הישר.

משפט סונדה: אם שני משולשים הם פרספקטיביים ואורתולוגיים (ניצבים נמשכים מקודקודי משולש אחד לצדדים מול הקודקודים המקבילים של המשולש, ולהיפך), אז שני מרכזי האורתולוגיה (נקודות החיתוך של הניצבים הללו) והמרכז של הפרספקטיבה שוכנים על אותו קו ישר, בניצב לציר הפרספקטיבה (קו ישר ממשפט דזארג).

חלוקת משולשים לחריפים, מלבניים וקהים. סיווג לפי יחס גובה-רוחב מחלק משולשים לקנה מידה, שווה שוקיים ושווי שוקיים. יתר על כן, כל משולש שייך בו זמנית לשניים. לדוגמה, זה יכול להיות מלבני וקנה מידה בו זמנית.

בעת קביעת הסוג לפי סוג הזוויות, היזהר מאוד. משולש קהה ייקרא משולש שבו אחת מהזוויות היא , כלומר, יותר מ-90 מעלות. ניתן לחשב משולש ישר זווית על ידי זווית אחת ישרה (שווה ל-90 מעלות). עם זאת, כדי לסווג משולש כחריף, תצטרך לוודא שכל שלוש הזוויות שלו חדות.

הגדרת המין משולשלפי יחס הגובה-רוחב, תחילה תצטרך לברר את האורכים של כל שלושת הצדדים. עם זאת, אם, לפי התנאי, אורכי הצדדים לא ניתנים לך, הזוויות יכולות לעזור לך. משולש בקנה מידה הוא כזה שבו לכל שלוש הצלעות יש אורכים שונים. אם אורכי הצלעות אינם ידועים, אזי ניתן לסווג משולש כקנה מידה אם כל שלוש הזוויות שלו שונות. משולש בקנה מידה יכול להיות קהה, ימני או חריף.

משולש שווה שוקיים הוא משולש שבו שתיים משלוש הצלעות שלו שוות זו לזו. אם אורכי הצלעות לא ניתנים לך, השתמש בשתי זוויות שוות כמנחה. משולש שווה שוקיים, כמו משולש בקנה מידה, יכול להיות קהה, מלבני או חריף.

רק משולש יכול להיות שווה צלעות אם כל שלוש הצלעות בעלות אותו אורך. גם כל הזוויות שלו שוות זו לזו, וכל אחת מהן שווה ל-60 מעלות. מכאן ברור שמשולשים שווי צלעות הם תמיד חריפים.

טיפ 2: כיצד לקבוע משולש קהה וחדות

המצולע הפשוט ביותר הוא משולש. הוא נוצר באמצעות שלוש נקודות השוכבות באותו מישור, אך לא על אותו קו ישר, המחוברות בזוגות על ידי קטעים. עם זאת, משולשים מגיעים בסוגים שונים ולכן יש להם תכונות שונות.

הוראות

נהוג להבחין בשלושה סוגים: קהה-זווית, חד-זווית ומלבנית. זה כמו פינות. משולש קהה הוא משולש שבו אחת מהזוויות קהה. זווית קהה היא זווית שגדולה מתשעים מעלות אך פחות ממאה שמונים. לדוגמה, במשולש ABC, זווית ABC היא 65°, זווית BCA היא 95°, וזווית CAB היא 20°. הזוויות ABC ו-CAB הן פחות מ-90°, אבל הזווית BCA גדולה יותר, מה שאומר שהמשולש קהה.

משולש חד הוא משולש שכל הזוויות בו חדות. זווית חדה היא זווית שהיא פחות מתשעים מעלות וגדולה מאפס מעלות. לדוגמה, במשולש ABC, זווית ABC היא 60°, זווית BCA היא 70°, וזווית CAB היא 50°. כל שלוש הזוויות הן פחות מ-90°, מה שאומר שזה משולש. אם אתה יודע שלמשולש כל הצלעות שוות, זה אומר שכל הזוויות שלו שוות גם זו לזו, והן שוות לשישים מעלות. בהתאם לכך, כל הזוויות במשולש כזה הן פחות מתשעים מעלות, ולכן משולש כזה הוא חד.

אם אחת מהזוויות במשולש היא תשעים מעלות, זה אומר שהיא לא סוג של זווית רחבה ולא חדה. זהו משולש ישר זווית.

אם סוג המשולש נקבע על פי היחס בין הצלעות, הן יהיו שווי צלעות, קנה מידה ושווי שוקיים. במשולש שווה צלעות, כל הצלעות שוות, וזה, כפי שגילית, אומר שהמשולש הוא חריף. אם למשולש יש רק שתי צלעות שוות או שהצלעות אינן שוות, הוא יכול להיות קהה, מלבני או חד. המשמעות היא שבמקרים אלו יש צורך לחשב או למדוד את הזוויות ולהסיק מסקנות לפי נקודות 1, 2 או 3.

סרטון על הנושא

מקורות:

• משולש קהה

השוויון של שני משולשים או יותר מתאים למקרה שבו כל הצלעות והזוויות של משולשים אלה שוות. עם זאת, ישנם מספר קריטריונים פשוטים יותר להוכחת שוויון זה.

אתה תצטרך

• ספר לימוד גיאומטריה, גיליון נייר, עיפרון, מד זווית, סרגל.

הוראות

פתח את ספר הלימוד שלך בגיאומטריה בכיתה ז' לחלק על הקריטריונים להתאמה של משולשים. תראה שיש מספר סימנים בסיסיים המוכיחים את השוויון של שני משולשים. אם שני המשולשים שהשוויון שלהם נבדק הם שרירותיים, אז מבחינתם יש שלושה סימנים עיקריים לשוויון. אם ידוע על מידע נוסף על משולשים, אז שלושת התכונות העיקריות מתווספות עם עוד כמה. זה חל, למשל, במקרה של שוויון משולשים ישרים.

קרא את הכלל הראשון לגבי התאמה של משולשים. כידוע, היא מאפשרת לנו להתייחס למשולשים שווים אם ניתן להוכיח שכל זווית אחת ושתי צלעות סמוכות של שני משולשים שוות. על מנת להבין את החוק הזה, צייר על פיסת נייר באמצעות מד זווית שתי זוויות ספציפיות זהות שנוצרות על ידי שתי קרניים הבוקעות מנקודה אחת. בעזרת סרגל, מדדו את אותן צלעות מהחלק העליון של הזווית המצוירת בשני המקרים. בעזרת מד זווית, מדוד את הזוויות המתקבלות של שני המשולשים שנוצרו, וודא שהן שוות.

כדי לא לנקוט באמצעים מעשיים כאלה כדי להבין את מבחן השוויון של משולשים, קרא את ההוכחה של המבחן הראשון לשוויון. העובדה היא שלכל כלל על שוויון משולשים יש הוכחה תיאורטית קפדנית, זה פשוט לא נוח לשימוש לצורך שינון הכללים.

קרא את המבחן השני להתאמה של משולשים. הוא קובע ששני משולשים יהיו שווים אם כל צלע אחת ושתי זוויות סמוכות של שני משולשים כאלה יהיו שוות. כדי לזכור את הכלל הזה, דמיינו את הצלע המצוירת של משולש ושתי זוויות סמוכות. תארו לעצמכם שאורכים של הצדדים של הפינות גדלים בהדרגה. בסופו של דבר הם יצטלבו ויצרו פינה שלישית. במשימה מנטלית זו, חשוב שנקודת החיתוך של הצלעות המוגדלות מנטלית, כמו גם הזווית המתקבלת, ייקבעו באופן ייחודי על ידי הצלע השלישית ושתי זוויות סמוכות.

אם לא ניתן לך מידע על זוויות המשולשים הנלמדים, השתמש בקריטריון השלישי לשוויון המשולשים. לפי כלל זה, שני משולשים נחשבים שווים אם כל שלוש הצלעות של אחד מהם שוות לשלוש הצלעות המתאימות של השנייה. לפיכך, כלל זה אומר שאורכים של הצלעות של משולש קובעים באופן ייחודי את כל זוויות המשולש, כלומר הם קובעים באופן ייחודי את המשולש עצמו.

סרטון על הנושא

מדע הגיאומטריה אומר לנו מה הם משולש, ריבוע וקוביה. בעולם המודרני, כולם ללא יוצא מן הכלל לומדים את זה בבתי ספר. כמו כן, המדע החוקר ישירות מהו משולש ואיזה תכונות יש לו הוא טריגונומטריה. היא חוקרת בפירוט את כל התופעות הקשורות לנתונים. על מה זה משולש היום במאמר שלנו. הסוגים שלהם יתוארו להלן, כמו גם כמה משפטים הקשורים אליהם.

מהו משולש? הַגדָרָה

זהו מצולע שטוח. יש לו שלוש פינות, כפי שמתברר משמו. יש לו גם שלוש צלעות ושלושה קודקודים, הראשון שבהם הוא קטעים, השני הוא נקודות. לדעת למה שוות שתי זוויות, אתה יכול למצוא את השלישית על ידי הפחתת סכום השתיים הראשונות מהמספר 180.

אילו סוגי משולשים קיימים?

ניתן לסווג אותם לפי קריטריונים שונים.

קודם כל, הם מחולקים לזווית חדה, קהה-זווית ומלבנית. לראשונים יש זוויות חדות, כלומר, אלו השוות פחות מ-90 מעלות. בזוויות קהות אחת מהזוויות היא קהה, כלומר אחת ששווה ליותר מ-90 מעלות, שתי האחרות חדות. משולשים חריפים כוללים גם משולשים שווי צלעות. למשולשים כאלה כל הצלעות והזוויות שוות. כולם שווים ל-60 מעלות, ניתן לחשב זאת בקלות על ידי חלוקת סכום כל הזוויות (180) בשלוש.

משולש ישר זווית

אי אפשר שלא לדבר על מה זה משולש ישר זווית.

לדמות כזו יש זווית אחת השווה ל-90 מעלות (ישר), כלומר שתיים מהצלעות שלה מאונכות. שתי הזוויות הנותרות חדות. הם יכולים להיות שווים, ואז זה יהיה שווה שוקיים. משפט פיתגורס קשור למשולש הישר זווית. באמצעות זה, אתה יכול למצוא את הצד השלישי, לדעת את שני הראשונים. לפי משפט זה, אם מוסיפים את הריבוע של רגל אחת לריבוע של השנייה, אפשר לקבל את ריבוע התחתון. ניתן לחשב את ריבוע הרגל על ​​ידי הפחתת ריבוע הרגל הידועה מריבוע התחתון. אם כבר מדברים על מה זה משולש, אנחנו יכולים להיזכר גם במשולש שווה שוקיים. זהו אחד שבו שתיים מהצלעות שוות, וגם שתי זוויות שוות.

מהן הרגל והתחתון?

רגל היא אחת מצלעותיו של משולש היוצר זווית של 90 מעלות. התחתון הוא הצלע הנותרת שממול לזווית הישרה. אתה יכול להוריד מאונך ממנו על הרגל. היחס בין הצלע הסמוכה לתחתית נקרא קוסינוס, והצד הנגדי נקרא סינוס.

- מהן התכונות שלו?

זה מלבני. רגליו שלוש וארבע, והתחתון שלו חמש. אם אתה רואה שהרגליים של משולש נתון שוות לשלוש וארבע, אתה יכול להיות סמוך ובטוח שהתחתון יהיה שווה לחמישה. כמו כן, באמצעות עיקרון זה, אתה יכול בקלות לקבוע שהרגל תהיה שווה לשלוש אם השנייה שווה לארבע, והתחתון שווה לחמש. כדי להוכיח משפט זה, אתה יכול ליישם את משפט פיתגורס. אם שתי רגליים שוות ל-3 ו-4, אז 9 + 16 = 25, השורש של 25 הוא 5, כלומר התחתון שווה ל-5. משולש מצרי הוא גם משולש ישר זווית שצלעותיו שוות ל-6, 8 ו-10; 9, 12 ו-15 ומספרים אחרים ביחס 3:4:5.

מה עוד יכול להיות משולש?

ניתן גם לרשום או להגביל משולשים. הדמות שסביבה מתואר המעגל נקראת כתובה; כל הקודקודים שלה הם נקודות המונחות על המעגל. משולש מוקף הוא כזה שאליו רשום עיגול. כל הצדדים שלו באים איתו במגע בנקודות מסוימות.

איך הוא ממוקם?

השטח של כל דמות נמדד ביחידות מרובעות (מ"ר, מילימטר רבוע, סנטימטר רבוע, דצימטר מ"ר וכו') ניתן לחשב ערך זה במגוון דרכים, בהתאם לסוג המשולש. ניתן למצוא את השטח של כל דמות בעלת זוויות על ידי הכפלת הצד שלה במאונך שנפל עליה מהפינה הנגדית, וחלוקת דמות זו בשניים. אתה יכול למצוא ערך זה גם על ידי הכפלת שני הצדדים. לאחר מכן תכפיל את המספר הזה בסינוס של הזווית הממוקמת בין הצלעות הללו, וחלק את התוצאה הזו בשניים. אם אתה מכיר את כל צלעות המשולש, אבל לא יודע את הזוויות שלו, אתה יכול למצוא את השטח בדרך אחרת. כדי לעשות זאת אתה צריך למצוא חצי מההיקף. לאחר מכן הפחיתו לסירוגין צלעות שונות ממספר זה והכפילו את ארבעת הערכים המתקבלים. לאחר מכן, מצא מהמספר שיצא. ניתן למצוא את השטח של משולש רשום על ידי הכפלת כל הצלעות וחלוקת המספר המתקבל במספר המוקף סביבו, כפול ארבע.

השטח של משולש מוקף נמצא בדרך זו: אנו מכפילים את חצי ההיקף ברדיוס המעגל החתום בו. אם אז ניתן למצוא את השטח שלו באופן הבא: ריבוע הצלע, הכפל את הדמות המתקבלת בשורש של שלוש, ואז חלק את המספר הזה בארבע. באופן דומה, אתה יכול לחשב את גובהו של משולש שבו כל הצלעות שוות; כדי לעשות זאת, אתה צריך להכפיל אחת מהן בשורש של שלוש, ולאחר מכן לחלק את המספר הזה בשניים.

משפטים הקשורים למשולש

המשפטים העיקריים הקשורים לדמות זו הם משפט פיתגורס שתואר לעיל וקוסינוסים. השני (של הסינוסים) הוא שאם מחלקים צלע כלשהי בסינוס של הזווית שממולה, ניתן לקבל את רדיוס המעגל המתואר סביבה, כפול שניים. השלישי (קוסינוס) הוא שאם מסכום הריבועים של שתי הצלעות נחסר את המכפלה שלהן, כפול שתיים ואת הקוסינוס של הזווית הממוקמת ביניהן, אז נקבל את הריבוע של הצלע השלישית.

משולש דאלי - מה זה?

רבים, כשהם מתמודדים עם המושג הזה, חושבים בהתחלה שזו איזושהי הגדרה בגיאומטריה, אבל זה בכלל לא המקרה. משולש דאלי הוא השם המקובל לשלושה מקומות הקשורים קשר הדוק לחייו של האמן המפורסם. ה"פסגות" שלו הן הבית שבו התגורר סלבדור דאלי, הטירה שנתן לאשתו, כמו גם המוזיאון לציורים סוריאליסטיים. במהלך סיור במקומות אלו תוכלו ללמוד עובדות מעניינות רבות על האמן היצירתי הייחודי הזה, הידוע בכל העולם.