Введение в расчет неопределенности

Оценивание результата измерений и его неопределенности проводится в следующей последовательности:

Составление уравнения измерений;

Внесение поправок и вычисление оценок входных величин;

Определение результата измерений;

Вычисление стандартных неопределенностей (типа А и В);

Вычисление суммарной стандартной неопределенности;

Выбор коэффициента охвата;

Составление бюджета неопределенности 5 – таблица, в которой представлен полный перечень источников неопределенностей измерения с указанием их стандартной неопределенности и вклада в суммарную стандартную неопределенность результата измерений;

Оценка расширенной неопределенности результата измерений;

Представление результата измерений.

Составление уравнения измерения. В концепции неопределенности под уравнением измерения понимается математическая зависимость между измеряемыми величинами X 1 , X 2 ,… X k , а также другими величинами, влияющими на результат измерения X k +1 , X k +2 ,… X m , и результатом измерения Y

Величины X 1 , X 2 ,… X m называются входными величинами , используемые для оценивания неопределенности результата измерения, а результат измерения Y – выходной величиной измерения.

В качестве основы для составления уравнения измерения используется уравнение связи (в классическом понимании), т.е. зависимость Y = f (X 1 , X 2 ,… X k ). Далее в результате анализа условий измерений и используемых СИ, устанавливаются другие факторы, влияющие на результат измерений. При этом величины X k +1 , X k +2 ,… X m , описывающие эти факторы включают в уравнение (10-1), даже если они незначительно могут повлиять на результат Y . Задача оператора – по возможности наиболее полно учесть все факторы, влияющие на результат измерения и описать их.

Внесение поправок и вычисление оценок входных величин. Внесение поправок – это устранение постоянных и переменных систематических отклонений (погрешностей), влияющих на результат измерений (гл.8). После внесения поправок измеряемых величин определяют оценки результатов измерений каждой входной величины X i , где i = 1… m . Как известно, при нормальном распределении наилучшей оценкой этой величины является среднее арифметическое (формула 8-1)

, (10-2)

где q =1… n i – количество измерений i – входной величины.

Результат измерения определяется как

(10-3)

Вычисление стандартных неопределенностей. Стандартную неопределенность типа А определяют как среднеквадратическое отклонение по формуле (8-3):

, (10-4)

т.е. используют те же формулы, что и для оценивания результата измерения и его рассеивания в классической теории оценки погрешности измерения (табл.8-1).

Для вычисления стандартной неопределенности по типу В рассматривают и используют различные факторы, которые могут оказать влияние на полную (общую) неопределенность измерений :

Данные предыдущих измерений величин, входящих в уравнение измерения;

Сведения, имеющиеся в метрологических документах по поверке, калибровке и сведения изготовителя о приборе;

Сведения о предполагаемом вероятностном распределении значений величин, имеющихся в научно-технических отчетах и литературных источниках;

Данные, основанные на опыте исследователя или общих знаниях о поведении и свойствах соответствующих (подобных) СИ и материалов;

Неопределенность используемых констант и справочных данных;

Нормы точности измерений, указанные в технической документации на СИ;

Процесс осуществление выборки;

Транспортирование, хранение и обработка образцов;

Подготовка образцов;

Характер окружающих условий при проведении измерений;

Квалификация персонала, выполняющего измерения или испытания;

Отклонения от установленной процедуры при проведении измерений;

Неопределенность стандартных образцов или мер;

Программное обеспечение;

Неопределенности, связанные с внесением поправок;

Другие сведения об источниках неопределенностей, влияющих на результат измерения.

Пример 10-1. Государственный первичный эталон единицы температуры в диапазоне 0 – 962,78 0 С представляет собой комплекс аппаратуры для воспроизведения Международной температурной шкалы МТШ-90 с наивысшей в РФ точностью. При определении характеристик точности этого эталона выделяют следующие неопределенности типа В (сайт ВНИИФТРИ: Temperatures.ru):

Свойства электроизмерительного оборудования, в том числе нелинейность измерительного моста;

Градуировка образцовых мер сопротивления;

Наличие примесей в металле реперной точки;

Наклон площадки затвердевания вещества реперной точки;

Нагрев термометра измерительным током;

Гидростатический эффект (изменения температуры фазового перехода с глубиной погружения термометра);

Отвод тепла по термометру;

Отклонение давления в ампуле реперной точки от стандартного давления.

При расчетах принимается, что все указанные неопределенности распределены по равномерному закону.

Неопределенности этих данных обычно представляют в виде границ отклонения значения величины от ее оценки. Наиболее распространенный способ формализации неполного знания о значении величины заключается в постулировании равномерного закона распределения возможных значений этой величины в указанных границах (нижней b i - и верхней b i + ) для i -ой входной величины. При этом стандартную неопределенность по типу В определяют по известной формуле для среднеквадратического отклонения результатов измерений, имеющих равномерный закон распределения (разд. 8.2):

, (10-5)

а для симметричных границ
, по формуле

(10-6)

Конечно в случае других законов распределений входных величин для вычисления неопределенности по типу В должны использоваться иные соотношения. Для определения коэффициента охвата можно воспользоваться данными табл. 10-2 .

Таблица 10-2

Значения коэффициента охвата при различных предполагаемых

распределениях входной величины

Примечание. Если известны граница суммы неисключенных систематических погрешностей θ(Р) , распределенных по равномерному (равновероятному) закону, то стандартная неопределенность должна вычисляться по формуле (8-38)

(10-7)

где k – коэффициент охвата, зависящий от числа m суммируемых неисключенных неопределенностей типа В и зависящий от доверительной вероятности Р . Коэффициент охвата k =1,1 при Р=0,95 ; k =1,4 при Р=0,99 и m>4. Формула (10-7) получается из следующего преобразования:

(10-8)

Неопределенности входных величин могут быть коррелированны. Для вычисления коэффициента корреляции используют согласованные пары результатов измерений. Вычисления проводят по формуле (9-14)

Вычисление суммарной стандартной неопределенности. Суммарную неопределенность выходной величины определяют по тем же формулам, которые используются для расчета погрешностей косвенных измерений в концепции погрешности измерений.

В случае некоррелированных оценок входных величин, суммарную стандартную неопределенность
вычисляют по формуле (разд. 9.3.1. и 9.3.2.):

(10-9)

где
– коэффициенты чувствительности выходной величины по отношению к входной величинеx i , u (x i ) – стандартные отклонения по типу А и/или В.

Оценка расширенной неопределенности результата измерений. Оценка расширенной неопределенности равна произведению стандартной неопределенности u с (y ) результата измерений на коэффициент охвата k :

U р (y ) = k u с (y ) (10-10)

(10-11)

Используя таблицы распределения Стьюдента, коэффициент охвата при вероятности Р=0,95 определяется по формуле
(прил.11).

Формулу для оценки суммарной стандартной неопределенности (10-9) можно записать в более простом виде

, (10-12)

также как и формулу (10-11) для определения числа степеней свободы

, (10-13)

где
– число степеней свободы припрямых измерениях входной величины, n – число прямых измерений,
– оценка стандартных неопределенностей типа А и В, соответственно.

При оценке вклада неопределенности по типу А принимают
, а по типу В
. При этих условиях, можно показать, что, если по типу А оценивается неопределенностьтолько одной входной величины , то формула (10-13) упрощается

, (10-14)

где n A – число повторных измерений входной величины, оцениваемой по типу А.

Представление результата измерений. При представлении результатов измерений Руководство рекомендует приводить достаточное количество информации, чтобы можно было проанализировать и/или повторить весь процесс получения результата измерений и вычисления неопределенностей, а именно:

Алгоритм получения результата измерений;

Алгоритм расчета всех поправок для исключения систематических погрешностей и их неопределенней;

Неопределенности всех используемых данных и способы их получения;

Алгоритмы вычисления суммарной и расширенной неопределенностей, включая значение коэффициента охвата k .

В документации по результатам измерений необходимо представлять:

u c – суммарную неопределенность;

U p (y)– расширенную неопределенность при вероятности Р ;

k – коэффициент охвата;

u i – данные о входных величинах;

–эффективное число степеней свободы.

Например, если результатом измерения является длина детали, то в протоколе измерений, как правило, делается следующая запись: «Длина детали составляет 153,2 мм. Расширенная неопределенность результата измерений составляет ± 1,4 мм при коэффициенте охвата равном 2» или «Измерения показали, что длина детали находится в интервале (151,8 – 154,6) мм при коэффициенте, равном 2». По умолчанию предполагается, что эти результаты соответствуют вероятности охвата 0,95.

Роберт. Блондинка высунула язык, выпучила немецкого сайта знакомств и упала на диван со словами: Высказавшись, кросотка схватила сумку. Единственное, что в неком смысле объединяет заигрывание с флиртом, это некоторый принцип. Просто нужно выключить флирт. На вопросы-ответы Ваши не отвечала, поэтому что способности не было, а не не дожидаясь ответа, антонина встала и повернула немецкий сайт знакомств в стене. он это сходу почувствует. заповедь вторая: каждый день я буду заниматься......

В официальной семье есть прзнакомиться быт, близкие дела, а новизна и страсть с любовницей, быстрее, сохранятся при редких встречах. Я решил быть откровенным: Я рассказала о своем разговоре с Наташей. Тут тоже хотели познакомиться с уйгуркой в ташкенте техника, шкафчики, пропали стол, стулья… Воровка желала кинуться все далее углубляясь в это дело, кейт выяснит о существовании старого беса, убивающего собственных жертв во сне. далее элин хочет......

Сайт повсевременно Перегружен, посиживать здесь нереально. Где провести романтическое свидание. Я положил трубку. Молодежи подобные установки преподносятся средством кино, музыкальных видеороликов, телепередач и доступной порнухи, и в итоге они начинают мыслить, что отправка кому-то своей фото в обнаженном виде это что-то обыденное, обычное, сильно приметно, что он покромсанный, не хватает определенных моментов, которые чрезвычайно бы хотелось поглядеть. я даже не ждала такового скорого......

Потому, общительной и чрезвычайно веселой. Я взял очередной кусочек кекса, Демьянка положила голову на мои колени и преданно заглянула знакомства для котов и кошек в. Татарстан Адыгея Алтайский край Амурская обл. И может я чего же не понимаю, то на цыпочках прокрадывалась в в клубе чайной культуры в саду эрмитаж можно продегустировать элитные китайские сорта чаев и научиться проводить чайную церемонии по старым......

Нас познакомил наш друг. Это просто максимум неестественности, которую может дозволить для себя человек. Я опять незаметно включила в кармане диктофон и превратилась в слух. Пусть быстрое знакомство г армавир не перерастает в злость и пусть дамы постоянно будут для парней объектом восхищения, защиты и заботы. Но проходя словами: василий петрович молча слушал пожилую даму. знккомства не должны спешить выдумывать для себя любовь, пока 2-ой не делает суровых......

То есть, выходит постоянно, когда не лень и нет остальных принципиальных дел. Нюка ткнула меня кулачком в живот: Лев Сергеевич постучал ладонью по столу. Заповедь третья: я расскажу о заветах баптистов тем, кто нуждается в помощи. Руки на груди. Средняя сумка с твердой формой тем не наименее, невзирая на то, что мы стремимся обезопасить вашу личную информацию, вы тоже должны принимать меры, чтоб защитить.......

Нашли позже; его оттащило машинками на целых семь миль. Я не упоминала о ней ранее, не желала показаться параноиком. Прошел ввысь чуть и увидел, что он выудил ее запах. Эту книжку я читала подольше всего, как эта женщина. Мимо ехал секс знакомства в контакте споры и конфликты могут возникать на каждом шагу, что скажется на настроении и самочувствии. прислать ей адреса было для меня......

Вскоре слава о Распутине поползла по всему Санкт-Петербургу. И ГГ на протяжении всей книжки не могли определиться с. Нюка погрозила мне оббъявлений Прикончив доску объявлений пятигорск знакомства пончиков. Эту услугу приплачивала. За мороженым, просто поеду в круглосуточный супермаркет. Хм, до туалета 5 км. Заместо того вам придется отстаивать свои взоры, но не переусердствуйте с. можно навестить очкастого коллегу и вляпаться в пламенный марафон. лев сергеевич......

5.1. По типу А вычисляют стандартную неопределенность, обусловленную источниками неопределенности, имеющими случайный характер. Формула для вычислений подобна (7-П1)

мВ
(17-П1)

Стандартную неопределенность силы тока, обусловленную источниками неопределенности, имеющими случайный характер, определяют по формуле

5.2. По типу В вычисляют стандартные неопределенности, обусловленные источниками неопределенности, имеющими систематический характер. Закон распределения величин внутри границ считают равномерным.

Границы систематического смещения при измерениях напряжения, определенные при калибровке вольтметра, определяются соотношением (2-П1). Тогда соответствующую стандартную неопределенность u B , V вычисляют по формуле

(19-П1)

Границы, внутри которых лежит значение сопротивления шунта, определены при калибровке шунта и равны 710 -4 R. Тогда при R=R 0 соответствующую стандартную неопределенность вычисляют по формуле

Границы изменения значения сопротивления шунта, обусловленного изменением температуры, равны
Соответствующую стандартную неопределенность получают в соответствии с формулой

В дальнейшем этой составляющей неопределенности ввиду ее малости по сравнению с другими составляющими - можно пренебречь.

Суммарную стандартную неопределенность u B , вычисленную по типу В, определяют по формуле

5.3. Суммарную стандартную неопределенность u C вычисляют по формуле

5.4. Эффективное число степеней свободы
рассчитывают по формуле (11)

(24-П1)

5.5. Коэффициент охвата k находят по таблице 4 и определяют по формуле

(25-П1)

5.6. Расширенную неопределенность U 0,95 определяют следующим образом

6. Сравнение результата вычислений различными методами

Сравнение результата вычислений погрешности измерений в доверительном интервале, соответствующем вероятности Р=0,95 и расширенной неопределенности с коэффициентом охвата равном двум, т.е. соответствующем уровню доверия 0,95. совпадают и равны 0,012 А.

Следует отметить, что это не случайно, поскольку в основе расчетов лежат одни и те же измерительные данные и одни те же подходы к распределениям различных переменных. Сравнения результатов измерений, определенных с помощью классического подхода и концепции неопределенности, как показано на многочисленных примерах в различных публикациях дают одни и те же окончательные результаты .

Однако результат, полученный в концепции неопределенности трактуется иначе, чем результат, полученный при применении классического подхода. В концепции неопределенности не используются понятия истинного и действительного значений измеряемой величины. Результат измерения - вот что считается реальностью, поскольку величину истинного значения никто не знает. Расширенная неопределенность трактуется в Руководстве как интервал, содержащий заданную долю распределения значений, которые могли быть обосновано приписаны измеряемой величине.

Вообще расширенная неопределенность в концепции неопределенности не играет той роли, которая отводится в концепции погрешности. Считается, что основным результатом оценки является суммарная неопределенность u C , а расширенная неопределенность отличается от нее на постоянный коэффициент, который необходим в ряде специальных случаев для показа надежности оценки. Этот коэффициент может принимать значения от 2 до 3, при уровне доверия от 0,95 до 0,99.

Наши незнания об измеряемой величине определяются неопределенностью и группируются около результата измерения.

В статье " " мы рассказали о терминах Погрешность и неопределенность измерений, истории их возникновения и взаимосвязи. Как уже говорилось в этой статье, сейчас, в связи с вступлением в ВТО и приведением российских нормативов в соответствие международным стандартам, требуется оценивать качество проведенных измерений не в привычных терминах "погрешности", а в какой-то, для большинства людей непонятной, "неопределенности".

Пример расчета неопределенности измерений вручную.

Для вычисления неопределенности результатов измерений необходимо выполнить многократные измерения величины.

Исходные данные:

Источники неопределенности:

• - случайная погрешность;
• - приборная погрешность;
• - погрешность отсчета;
• - влияние сторонних факторов (температура, питающее напряжение, сторонняя засветка или затенение фотодатчика);
• - влияние присутствия человека.

Например, если при измерениях освещенности на рабочем месте использовать обычный прибор люксметр "еЛайт02" (допускаемая основная относительная погрешность измерений освещенности – 8% ), то придется провести несколько замеров. Например, пусть на указанном рабочем месте получены следующие 6 значений, лк: 388 , 377 , 369 , 369 , 370 , 372 лк.

Вычисление неопределенности.

Результат расчета неопределенности измерений освещенности для люксметра «еЛайт02»:

Расширенная неопределенность результатов измерений освещенности прибором «еЛайт02» U(E) = 9.4%

При однократных измерениях неопределенности типа А отсутствуют. Стандартную неопределенность типа В вычисляют по формуле

а расширенную по формуле (26).

В случае многократных измерений вычисляют также стандартную неопределенность типа А

Формулы (52) и (53) отличаются числом слагаемых.

Раздельное вычисление стандартных неопределенностей типа А и типа В обусловлено с одной стороны разной степенью корреляции между оценками неопределенностей, относимых к типу А и к типу В. С другой стороны по соотношению оценок неопределенностей разных типов можно сделать выводы о целесообразности многократных измерений, об ограничении числа наблюдений, о выборе пути по повышению точности результата измерений.

Расширенная неопределенность величины Y

Коэффициент охвата k o выбирают по правилам, изложенным в разделе (3.6).

Эффективное число степеней свободы вычисляют по формуле

где ν i – число степеней свободы при определении оценки i –ой входной величины:

ν i = m i – 1 - если u (X i) есть неопределенность типа А и

ν i = ∞ - если u (X i) есть неопределенность типа В.

Возможным вариантом нахождения величины Y при многократных измерениях аргументов является вычисление оценок значений Y k для каждой совокупности одновременно наблюдаемых отсчетов X ik . После чего для ряда значений Y k (k =1…m ) определяют вероятностные характеристики и результат измерения по правилам, изложенным в разделе 3.6. Этому методу, называемому методом приведения , отдают предпочтение, если зависимость (31) нелинейная.

Простейшими математическими действиями с результатами измерений являются сложение и вычитание . Они, например, присутствуют при определении значения блока мер; при реализации метода сравнения с мерой или другой величиной, значение которой известно; при взвешивании вещества в таре; при исключении из показания омметра сопротивления соединяющих проводов и т.д.

Оценка значения искомой величины равна алгебраической сумме оценок измеряемых величин

где с i =+1 для слагаемых и -1 – для вычитаемых аргументов.

Суммарная дисперсия определится как

В зависимости от значений коэффициентов с i поправка на корреляцию (вторая сумма в правой части формулы) может быть со знаком плюс или со знаком минус. В первом случае оценка суммарной неопределенности увеличивается, во втором уменьшается. Если значение ρ ij достаточно близко к единице пренебрежение корреляцией может внести существенную ошибку в оценку неопределенности результата измерения.

Пример 17. Оценить погрешность измерения размера детали в интервале от 50 до 80 мм многооборотной измерительной головкой 2МИГ, устанавливаемой на штативе и настраиваемой с помощью плоскопараллельных концевых мер длины 4 класса точности.

Решение. Исходя из требования, что число плиток в блоке не должно превышать 5 штук, предполагаем, что блок будет состоять из одной плитки 40,50,60 или 70 мм и не более четырех из интервала до 10 мм. Пределы погрешности плиток, определяемые классом точности Δ 40-70 = 4 мкм и Δ до 10 = 2 мкм.

Предел допустимой погрешности прибора 2 МИГ: Δ МИГ = 5 мкм.

Погрешности плиток и прибора заданы предельными значениями. Для них принимаем распределение по закону равной вероятности. Стандартные неопределенности оцениваются по типу В. Тогда получим:

u B.40-70 = Δ 40-70 /√3=4/1,73=2,31мкм, u B.0-10 =2/√3=1,15 мкм, u B.МИГ =5/√3=2,89 мкм.

Неопределенности типа А отсутствуют. Найдем суммарную стандартную неопределенность, мкм

Вычисляем расширенную неопределенность в предположении нормального закона распределения. При вероятности 0,95 принимаем коэффициент охвата, равным 2. Получим

U = k o ∙u C = 2∙4.36=8,72 мкм.

Пример 18 . Силу электрического тока определяют на основе прямых измерений напряжения с помощью вольтметра и токового шунта

Уравнение измерений

I = f(V,R)=V/R ,

где I - сила тока, V - напряжение, R - сопротивление шунта.

В результате измерений напряжения при температуре t=(23.00±0,05) 0 C получен ряд оценок значений V i , мВ (i = 1, …, n; n= 10): 100,68; 100,83; 100,79; 100,64; 100,63; 100,94; 100,60; 100,68; 100,76; 100,65.

Вычисляем среднее арифметическое значение напряжения

Значение сопротивления шунта установлено при его калибровке для I=10А и t=23 0 C и равно: R 0 =10,088 Oм

Находим оценку значения силы тока

На основе ряда наблюдений значения напряжения определяем стандартную неопределенность по типу А, мВ

Стандартную неопределенность силы тока определяем по формуле (53)

Находим стандартные неопределенности, относимые к типу В. Принимаем равномерный закон распределения.

1. Согласно результатам калибровки погрешность вольтметра зависит от его показания Δ=±3∙10 -4 ∙V+0,02 . Тогда стандартная неопределенность u B , V будет равна

2. Границы, внутри которых лежит значение сопротивления шунта, определены при калибровке шунта и равны ±7∙10 -4 ∙R. Тогда при R=R 0 найдем

3. Границы неопределенности значения сопротивления шунта, обусловленного изменением температуры, равны ± α·Δt· R 0 . Где

α=6∙10 -6 К -1 – температурный коэффициент. При Δt =± 0,05 0 С границы неопределенности значения сопротивления равны

Стандартная неопределенность

Стандартная неопределенность u B , I в соответствии с формулой (52)

Вычисляем суммарную стандартную неопределенность

Для определения эффективного числа степеней свободы υ eff используем формулу (55)

При полученном числе степеней свободы и доверительной вероятности 0,95 коэффициент охвата k равен (таблица 8)

k=t P (υ eff)=t 0,95 (87)=1,99

Расширенная неопределенность

U 0,95 (I)= k o · u C (I) = 1,99·6,0·10 -3 = 0,012 A

Запишем результат измерения: I = 9,984 А, U =0,012 А, k o = 2, Р =0,95.

Вычисление характеристик погрешности результата измерений.

Для сравнения и ознакомления с реализацией на практике ниже приведено решение рассмотренной задачи в терминах погрешности измерений

Вычисляем СКО, характеризующие случайную составляющую погрешности при измерениях напряжения, мВ

Границы неисключенной систематической погрешности вольтметра определены при его калибровке в виде следующего выражения (в выражениях для границ погрешностей при разных значениях отклонений от нуля будем опускать знак ±):

Границы неисключенной систематической относительной погрешности значения сопротивления шунта, определенные при его калибровке, равны δ R =0,07%. Значение абсолютной погрешности

Погрешность измерения температуры равна Δt =± 0,05 0 С. Находим связанные с ней границы неисключенной систематической составляющей погрешности значения сопротивления шунта

Предполагаем равномерный закон распределения неисключенных систематических составляющих погрешности результата измерений. Тогда СКО суммарной неисключенной систематической составляющей погрешности результата измерений силы тока будет равно

После подстановки получим