Треугольник представляет собой многоугольник, имеющий три стороны (три угла). Чаще всего стороны обозначают маленькими буквами, соответствующими заглавным буквам, которыми обозначают противоположные вершины. В данной статье мы ознакомимся с видами этих геометрических фигур, теоремой, которая определяет, чему равняется сумма углов треугольника.
Виды по величине углов
Различают следующие виды многоугольника с тремя вершинами:
- остроугольный, у которого все углы острые;
- прямоугольный, имеющий один прямой угол, при его образующие, называют катетами, а сторона, которая размещена противоположно прямому углу, именуется гипотенузой;
- тупоугольный, когда один ;
- равнобедренный, у которого две стороны равные, и называются они боковыми, а третья - основанием треугольника;
- равносторонний, имеющий все три равные стороны.
Свойства
Выделяют основные свойства, которые характерны для каждого вида треугольника:
- напротив большей стороны всегда располагается больший угол, и наоборот;
- напротив равных по величине сторон находятся равные углы, и наоборот;
- у любого треугольника есть два острых угла;
- внешний угол больше по сравнению с любым внутренним углом, не смежным с ним;
- сумма каких-либо двух углов всегда меньше 180 градусов;
- внешний угол равняется сумме остальных двух углов, которые не межуют с ним.
Теорема о сумме углов треугольника
Теорема утверждает, что если сложить все углы данной геометрической фигуры, которая расположена на евклидовой плоскости, то их сумма будет составлять 180 градусов. Попробуем доказать данную теорему.
Пускай у нас есть произвольный треугольник с вершинами КМН.
Через вершину М проведем КН (еще эту прямую называют прямой Евклида). На ней отметим точку А таким образом, чтоб точки К и А были расположены с разных сторон прямой МН. Мы получаем равные углы АМН и КНМ, которые, как и внутренние, лежат накрест и образовываются секущей МН совместно с прямыми КН и МА, которые являются параллельными. Из этого следует, что сумма углов треугольника, расположенных при вершинах М и Н, равняется размеру угла КМА. Все три угла составляют сумму, которая равна сумме углов КМА и МКН. Поскольку данные углы являются внутренними односторонними относительно параллельных прямых КН и МА при секущей КМ, их сумма составляет 180 градусов. Теорема доказана.
Следствие
Из выше доказанной теоремы вытекает следующее следствие: любой треугольник имеет два острых угла. Чтобы это доказать, допустим, что данная геометрическая фигура имеет всего один острый угол. Также можно предположить, что ни один из углов не является острым. В этом случае должно быть как минимум два угла, величина которых равна или больше 90 градусов. Но тогда сумма углов будет больше, чем 180 градусов. А такого быть не может, поскольку согласно теореме сумма углов треугольника равна 180° - не больше и не меньше. Вот это и нужно было доказать.
Свойство внешних углов
Чему равна сумма углов треугольника, которые являются внешними? Ответ на этот вопрос можно получить, применив один из двух способов. Первый заключается в том, что необходимо найти сумму углов, которые взяты по одному при каждой вершине, то есть трех углов. Второй подразумевает, что нужно найти сумму всех шести углов при вершинах. Для начала разберемся с первым вариантом. Итак, треугольник содержит шесть внешних углов - при каждой вершине по два.
Каждая пара имеет равные между собой углы, поскольку они являются вертикальными:
∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.
Кроме этого, известно, что внешний угол у треугольника равняется сумме двух внутренних, которые не межуются с ним. Следовательно,
∟1 = ∟А + ∟С, ∟2 = ∟А + ∟В, ∟3 = ∟В + ∟С.
Из этого получается, что сумма внешних углов, которые взяты по одному возле каждой вершины, будет равна:
∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟А + ∟С + ∟А + ∟В + ∟В + ∟С = 2 х (∟А + ∟В + ∟С).
С учетом того, что сумма углов равняется 180 градусам, можно утверждать, что ∟А + ∟В + ∟С = 180°. А это значит, что ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 х 180° = 360°. Если же применяется второй вариант, то сумма шести углов будет, соответственно, большей в два раза. То есть сумма внешних углов треугольника будет составлять:
∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 х (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720°.
Прямоугольный треугольник
Чему равняется сумма углов прямоугольного треугольника, являющихся острыми? Ответ на этот вопрос, опять же, вытекает из теоремы, которая утверждает, что углы в треугольнике в сумме составляют 180 градусов. А звучит наше утверждение (свойство) так: в прямоугольном треугольнике острые углы в сумме дают 90 градусов. Докажем его правдивость.
Пускай нам дан треугольник КМН, у которого ∟Н = 90°. Необходимо доказать, что ∟К + ∟М = 90°.
Итак, согласно теореме о сумме углов ∟К + ∟М + ∟Н = 180°. В нашем условии сказано, что ∟Н = 90°. Вот и получается, ∟К + ∟М + 90° = 180°. То есть ∟К + ∟М = 180° - 90° = 90°. Именно это нам и следовало доказать.
В дополнение к вышеописанным свойствам прямоугольного треугольника, можно добавить и такие:
- углы, которые лежат против катетов, являются острыми;
- гипотенуза треугольна больше любого из катетов;
- сумма катетов больше гипотенузы;
- катет треугольника, который лежит напротив угла 30 градусов, в два раза меньше гипотенузы, то есть равняется ее половине.
Как еще одно свойство данной геометрической фигуры можно выделить теорему Пифагора. Она утверждает, что в треугольнике с углом 90 градусов (прямоугольном) сумма квадратов катетов равняется квадрату гипотенузы.
Сумма углов равнобедренного треугольника
Ранее мы говорили, что равнобедренным называют многоугольник с тремя вершинами, содержащий две равные стороны. Известно такое свойство данной геометрической фигуры: углы при его основании равны. Докажем это.
Возьмем треугольник КМН, который является равнобедренным, КН - его основание.
От нас требуется доказать, что ∟К = ∟Н. Итак, допустим, что МА - это биссектриса нашего треугольника КМН. Треугольник МКА с учетом первого признака равенства равен треугольнику МНА. А именно по условию дано, что КМ = НМ, МА является общей стороной, ∟1 = ∟2, поскольку МА - это биссектриса. Используя факт равенства этих двух треугольников, можно утверждать, что ∟К = ∟Н. Значит, теорема доказана.
Но нас интересует, какова сумма углов треугольника (равнобедренного). Поскольку в этом отношении у него нет своих особенностей, будем отталкиваться от теоремы, рассмотренной ранее. То есть мы можем утверждать, что ∟К + ∟М + ∟Н = 180°, или 2 х ∟К + ∟М = 180° (поскольку ∟К = ∟Н). Данное свойство доказывать не будем, поскольку сама теорема о сумме углов треугольника была доказана ранее.
Кроме рассмотренных свойств об углах треугольника, имеют место и такие немаловажные утверждения:
- в которая была опущена на основание, является одновременно медианой, биссектрисой угла, который находится между равными сторонами, а также его основания;
- медианы (биссектрисы, высоты), которые проведены к боковым сторонам такой геометрической фигуры, равны.
Равносторонний треугольник
Его еще называют правильным, это тот треугольник, у которого равны все стороны. А поэтому равны также и углы. Каждый из них составляет 60 градусов. Докажем это свойство.
Допустим, что у нас есть треугольник КМН. Нам известно, что КМ = НМ = КН. А это значит, что согласно свойству углов, расположенных при основании в равнобедренном треугольнике, ∟К = ∟М = ∟Н. Поскольку согласно теореме сумма углов треугольника ∟К + ∟М + ∟Н = 180°, то 3 х ∟К = 180° или ∟К = 60°, ∟М = 60°, ∟Н = 60°. Таким образом, утверждение доказано.
Как видно из выше приведенного доказательства на основании теоремы, сумма углов как и сумма углов любого другого треугольника, составляет 180 градусов. Снова доказывать эту теорему нет необходимости.
Существуют еще такие свойства, характерные для равностороннего треугольника:
- медиана, биссектриса, высота в такой геометрической фигуре совпадают, а их длина вычисляется как (а х √3) : 2;
- если описать вокруг данного многоугольника окружность, то ее радиус будет равен (а х √3) : 3;
- если вписать в равносторонний треугольник окружность, то ее радиус будет составлять (а х √3) : 6;
- площадь этой геометрической фигуры вычисляется по формуле: (а2 х √3) : 4.
Тупоугольный треугольник
Согласно определению один из его углов находится в промежутке от 90 до 180 градусов. Но учитывая то, что два остальных угла данной геометрической фигуры острые, можно сделать вывод, что они не превышают 90 градусов. Следовательно, теорема о сумме углов треугольника работает при расчете суммы углов в тупоугольном треугольнике. Получается, мы смело можем утверждать, опираясь на вышеупомянутую теорему, что сумма углов тупоугольного треугольника равна 180 градусам. Опять-таки, данная теорема не нуждается в повторном доказательстве.
Эта теорема сформулирована и в учебнике Атанасяна Л.С. , и в учебнике Погорелова А.В. . Доказательства этой теоремы в этих учебниках существенно не отличаются, а поэтому приведем ее доказательство, например, из учебника Погорелова А.В.
Теорема: Сумма углов треугольника равна 180°
Доказательство. Пусть АВС - данный треугольник. Проведем через вершину В прямую, параллельную прямой АС. Отметим на ней точку D так, чтобы точки А и D лежали по разные стороны от прямой ВС (рис.6).
Углы DВС и АСВ равны как внутренние накрест лежащие, образованные секущей ВС с параллельными прямыми АС и ВD. Поэтому сумма углов треугольника при вершинах В и С равна углу АВD. А сумма всех трех углов треугольника равна сумме углов АВD и ВАС. Так как эти углы внутренние односторонние для параллельных АС и ВD и секущей АВ, то их сумма равна 180°. Теорема доказана.
Идея этого доказательства состоит в проведение параллельной линии и обозначении равенства нужных углов. Реконструируем идею такого дополнительного построения, доказав эту теорему с использованием понятия о мысленном эксперименте. Доказательство теоремы с использованием мысленного эксперимента. Итак, предмет мысли нашего мысленного эксперимента - углы треугольника. Поместим его мысленно в такие условия, в которых его сущность может раскрыться с особой определенностью(1этап).
Такими условиями будут являться такое расположение углов треугольника, при котором все их три вершины будут совмещены в одной точке. Такое совмещение возможно, если допустить возможность «перемещения» углов, посредством движения сторон треугольника не меняя при этом угол наклона (рис.1). Такие перемещения по сути есть последующие мысленные трансформации (2 этап).
Производя обозначение углов и сторон треугольника (рис.2), углов получаемых при «перемещении», мы тем самым мысленно формируем ту среду, ту систему связей, в которую помещаем наш предмет мысли (3 этап).
Линия АВ «перемещаясь» по линии ВС и не меняя к ней угла наклона, переводит угол 1 в угол 5, а «перемещаясь» по линии АС, переводит угол 2 в угол 4. Поскольку при таком «перемещении» линия АВ не меняет угла наклона к линиям АС и ВС, то очевиден вывод: лучи а и а1 параллельны АВ и переходят друг в друга, а лучи в и в1 являются продолжением соответственно сторон ВС и АС. Так как угол 3 и угол между лучами в и в1 - вертикальные, то они равны. Сумма этих углов равна развернутому углу аа1 - а значит 180°.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В дипломной работе проведены «сконструированные» доказательства некоторых школьных геометрических теорем, с использованием структуры мысленного эксперимента, что явилось подтверждением сформулированной гипотезы.
Излагаемые доказательства, опирались на такие наглядно-чувственные идеализации: «сжатие», «растягивание», «скольжение», которые позволили особым образом трансформировать исходный геометрический объект и выделить его существенные характеристики, что характерно для мысленного эксперимента. При этом мысленный эксперимент выступает в роли определенного «креативного инструмента», способствующего появлению геометрического знания (например, о средней линии трапеции или об углах треугольника). Такие идеализации позволяют схватить в целом идею доказательства, идею проведения «дополнительного построения», что позволяет говорить о возможности более осознанного понимания школьниками процесса формально-дедуктивного доказательства геометрических теорем.
Мысленный эксперимент является одним из базовых методов получения и открытия геометрических теорем. Необходимо разработать методику передачи метода ученику. Остается открытым вопрос о приемлемом для «принятия» метода возрасте ученика, о «побочных эффектах» излагаемых таким образом доказательств.
Эти вопросы требуют дополнительного изучения. Но в любом случаи, несомненно, одно: мысленный эксперимент развивает у школьников теоретическое мышление, является его базой и, поэтому, способности к мысленному экспериментированию нужно развивать.
То, что «Сумма углов любого треугольника в Эвклидовой геометрии равна 180 градусов» можно просто запомнить. Если запомнить не просто, можно провести парочку экспериментов для лучшего запоминания.
Эксперимент первый
Начертите на листе бумаги несколько произвольных треугольников, например:
- с произвольными сторонами;
- равнобедренный треугольник;
- прямоугольный треугольник.
Обязательно пользуйтесь линейкой. Теперь нужно вырезать полученные треугольники, делая это ровно по начерченным линиям. Закрасьте углы каждого треугольника цветным карандашом или фломастером. Например, в первом треугольники все углы будут красными, во втором - синими, третьем – зелеными. http://bit.ly/2gY4Yfz
От первого треугольника отрежьте все 3 угла и вершинами соедините их в одно точке, так, чтобы ближайшие стороны каждого угла соединялись. Как видно, три угла треугольника образовали развернутый угол, который равен 180 градусов. То же самое проделайте с двумя другими треугольниками – результат будет тот же. http://bit.ly/2zurCrd
Эксперимент второй
Чертим произвольный треугольник ABC. Выбираем любую вершину (например, C) и через нее проводим прямую DE, параллельную противоположной стороне (AB). http://bit.ly/2zbYNzq
Получаем следующее:
- Углы BAC и ACD равны, как внутренние накрестлежащие относительно AC;
- Углы ABC и BCE равны, как внутренние накрестлежащие относительно BC;
- Видим, что углы 1, 2 и 3 – углы треугольника, соединенные в одной точке образовали развернутый угол DCE, который равен 180 градусов.
Теорема о сумме углов треугольника гласит, что сумма всех внутренних углов любого треугольника равна 180°.
Пусть внутренние углы треугольника равны a, b и c, тогда:
a + b + c = 180°.
Из данной теории можно сделать вывод, что сумма всех внешних углов любого треугольника равна 360°. Так как внешний угол является смежным углом с внутренним, то их сумма равна 180°. Пусть внутренние углы треугольника равны a, b и c, тогда внешние углы при этих углах равна 180° - a, 180° - b и 180° - c.
Найдем сумму внешних углов треугольника:
180° - a + 180° - b + 180° - c = 540° - (a + b + c) = 540° - 180° = 360°.
Ответ: сумма внутренних углов треугольника равна 180°; сумма внешних углов треугольника равна 360°.
Предварительные сведения
Вначале рассмотрим непосредственно понятие треугольника.
Определение 1
Треугольником будем называть геометрическую фигуру, которая составлена из трех точек, соединенных между собой отрезками (рис. 1).
Определение 2
Точки в рамках определения 1 будем называть вершинами треугольника.
Определение 3
Отрезки в рамках определения 1 будем называть сторонами треугольника.
Очевидно, что любой треугольник будет иметь 3 вершин, а также три стороны.
Теорема о сумме углов в треугольнике
Введем и докажем одну из основных теорем, связанную с треугольников, а именно теорему о сумме углов в треугольнике.
Теорема 1
Сумма углов в любом произвольном треугольнике равняется $180^\circ$.
Доказательство.
Рассмотрим треугольник $EGF$. Докажем, что сумма углов в этом треугольнике равняется $180^\circ$. Сделаем дополнительное построение: проведем прямую $XY||EG$ (рис. 2)
Так как прямые $XY$ и $EG$ параллельны, то $∠E=∠XFE$ как накрест лежащие при секущей $FE$, а $∠G=∠YFG$ как накрест лежащие при секущей $FG$
Угол $XFY$ будет развернутым, следовательно, равняется $180^\circ$.
$∠XFY=∠XFE+∠F+∠YFG=180^\circ$
Следовательно
$∠E+∠F+∠G=180^\circ$
Теорема доказана.
Теорема о внешнем угле треугольника
Еще одной теоремой о сумме углов для треугольника можно считать теорему о внешнем угле. Для начала введем это понятие.
Определение 4
Внешним углом треугольника будем называть такой угол, который будет смежным с каким-либо углом треугольника (рис. 3).
Рассмотрим теперь непосредственно теорему.
Теорема 2
Внешний угол треугольника равняется сумме двух углов треугольника, которые не являются смежным для него.
Доказательство.
Рассмотрим произвольный треугольник $EFG$. Пусть он имеет внешний угол треугольника $FGQ$ (рис. 3).
По теореме 1 ,будем иметь, что $∠E+∠F+∠G=180^\circ$, следовательно,
$∠G=180^\circ-(∠E+∠F)$
Так как угол $FGQ$ внешний, то он смежен с углом $∠G$, тогда
$∠FGQ=180^\circ-∠G=180^\circ-180^\circ+(∠E+∠F)=∠E+∠F$
Теорема доказана.
Пример задач
Пример 1
Найти все углы треугольника, если он является равносторонним.
Так как у равностороннего треугольника все стороны равны, то будем иметь, что и все углы в нем также равны между собой. Обозначим их градусные меры через $α$.
Тогда, по теореме 1 будем получать
$α+α+α=180^\circ$
Ответ: все углы равняются по $60^\circ$.
Пример 2
Найти все углы равнобедренного треугольника, если один его угол равняется $100^\circ$.
Введем следующие обозначения углов в равнобедренном треугольнике:
Так как нам не дано в условии, какой именно угол равняется $100^\circ$, то возможны два случая:
Угол, равный $100^\circ$ - угол при основании треугольника.
По теореме об углах при основании равнобедренного треугольника получим
$∠2=∠3=100^\circ$
Но тогда только их сумма будет больше, чем $180^\circ$, что противоречит условию теоремы 1. Значит, этот случай не имеет места.
Угол, равный $100^\circ$ - угол между равными сторонами, то есть