Синус косинус формулы тригонометрия. Основные формулы тригонометрии

Справочные данные по тангенсу (tg x) и котангенсу (ctg x). Геометрическое определение, свойства, графики, формулы. Таблица тангенсов и котангенсов, производные, интегралы, разложения в ряды. Выражения через комплексные переменные. Связь с гиперболическими функциями.

Геометрическое определение

|BD| - длина дуги окружности с центром в точке A .
α - угол, выраженный в радианах.

Тангенс (tg α ) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине прилежащего катета |AB| .

Котангенс (ctg α ) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине противолежащего катета |BC| .

Тангенс

Где n - целое.

В западной литературе тангенс обозначается так:
.
;
;
.

График функции тангенс, y = tg x

Котангенс

Где n - целое.

В западной литературе котангенс обозначается так:
.
Также приняты следующие обозначения:
;
;
.

График функции котангенс, y = ctg x

Свойства тангенса и котангенса

Периодичность

Функции y = tg x и y = ctg x периодичны с периодом π .

Четность

Функции тангенс и котангенс - нечетные.

Области определения и значений, возрастание, убывание

Функции тангенс и котангенс непрерывны на своей области определения (см. доказательство непрерывности). Основные свойства тангенса и котангенса представлены в таблице (n - целое).

Формулы

Выражения через синус и косинус

; ;
; ;
;

Формулы тангенса и котангенс от суммы и разности

Остальные формулы легко получить, например

Произведение тангенсов

Формула суммы и разности тангенсов

В данной таблице представлены значения тангенсов и котангенсов при некоторых значениях аргумента.

Выражения через комплексные числа

Выражения через гиперболические функции

;
;

Производные

; .

.
Производная n-го порядка по переменной x от функции :
.
Вывод формул для тангенса > > > ; для котангенса > > >

Интегралы

Разложения в ряды

Чтобы получить разложение тангенса по степеням x , нужно взять несколько членов разложения в степенной ряд для функций sin x и cos x и разделить эти многочлены друг на друга , . При этом получаются следующие формулы.

При .

при .
где B n - числа Бернулли. Они определяются либо из рекуррентного соотношения:
;
;
где .
Либо по формуле Лапласа:

Обратные функции

Обратными функциями к тангенсу и котангенсу являются арктангенс и арккотангенс , соответственно.

Арктангенс, arctg

, где n - целое.

Арккотангенс, arcctg

, где n - целое.

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Г. Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров, 2012.

– уж наверняка встретятся задания по тригонометрии. Тригонометрию часто не любят за необходимость зубрить огромное количество трудных формул, кишащих синусами, косинусами, тангенсами и котангенсами. На сайте уже когда-то давались советы, как вспомнить забытую формулу, на примере формул Эйлера и Пиля .

А в этой статье мы постараемся показать, что достаточно твёрдо знать всего пять простейших тригонометрических формул, а об остальных иметь общее представление и выводить их по ходу дела. Это как с ДНК: в молекуле не хранятся полные чертежи готового живого существа. Там содержатся, скорее, инструкции по его сборке из имеющихся аминокислот. Так и в тригонометрии, зная некоторые общие принципы, мы получим все необходимые формулы из небольшого набора тех, которые нужно обязательно держать в голове.

Будем опираться на следующие формулы:

Из формул синуса и косинуса сумм, зная о чётности функции косинуса и о нечётности функции синуса, подставив -b вместо b, получаем формулы для разностей:

1. Синус разности : sin (a-b) = sin a cos (-b) +cos a sin (-b) = sin a cos b -cos a sin b
2. Косинус разности : cos (a-b) = cos a cos (-b) -sin a sin (-b) = cos a cos b +sin a sin b

Поставляя в эти же формулы a = b, получаем формулы синуса и косинуса двойных углов:

1. Синус двойного угла : sin 2a = sin (a+a) = sin a cos a +cos a sin a = 2sin a cos a
2. Косинус двойного угла : cos 2a = cos (a+a) = cos a cos a -sin a sin a = cos 2 a -sin 2 a

Аналогично получаются и формулы других кратных углов:

1. Синус тройного угла : sin 3a = sin (2a+a) = sin 2a cos a +cos 2a sin a = (2sin a cos a )cos a +(cos 2 a -sin 2 a )sin a = 2sin a cos 2 a +sin a cos 2 a -sin 3 a = 3sin a cos 2 a -sin 3 a = 3sin a (1-sin 2 a )-sin 3 a = 3sin a -4sin 3 a
2. Косинус тройного угла : cos 3a = cos (2a+a) = cos 2a cos a -sin 2a sin a = (cos 2 a -sin 2 a )cos a -(2sin a cos a )sin a = cos 3 a-sin 2 a cos a -2sin 2 a cos a = cos 3 a-3sin 2 a cos a = cos 3 a-3(1-cos 2 a )cos a = 4cos 3 a-3cos a

Прежде чем двигаться дальше, рассмотрим одну задачу.
Дано: угол - острый.
Найти его косинус, если
Решение, данное одним учеником:
Т.к. , то sin a = 3,а cos a = 4.
(Из математического юмора)

Итак, определение тангенса связывает эту функцию и с синусом, и с косинусом. Но можно получить формулу, дающую связь тангенса только с косинусом. Для её вывода возьмём основное тригонометрическое тождество: sin 2 a +cos 2 a = 1 и разделим его на cos 2 a . Получим:

Так что решением этой задачи будет:

(Т.к. угол острый, при извлечении корня берётся знак +)

Формула тангенса суммы – ещё одна, тяжело поддающаяся запоминанию. Выведем её так:

Сразу выводится и

Из формулы косинуса двойного угла можно получить формулы синуса и косинуса для половинного. Для этого к левой части формулы косинуса двойного угла:
cos 2 a = cos 2 a -sin 2 a
прибавляем единицу, а к правой – тригонометрическую единицу, т.е. сумму квадратов синуса и косинуса.
cos 2a +1 = cos 2 a -sin 2 a +cos 2 a +sin 2 a
2cos 2 a = cos 2 a +1
Выражая cos a через cos 2 a и выполняя замену переменных, получаем:

Знак берётся в зависимости от квадранта.

Аналогично, отняв от левой части равенства единицу, а от правой - сумму квадратов синуса и косинуса, получим:
cos 2a -1 = cos 2 a -sin 2 a -cos 2 a -sin 2 a
2sin 2 a = 1-cos 2 a

И, наконец, чтобы преобразовать сумму тригонометрических функций в произведение, используем следующий приём. Допустим, нам нужно представить в виде произведения сумму синусов sin a +sin b . Введём переменные x и y такие, что a = x+y, b+x-y. Тогда
sin a +sin b = sin (x+y)+sin (x-y) = sin xcos y+cos xsin y+sin xcos y-cos xsin y = 2sin xcos y. Выразим теперь x и y через a и b.

Поскольку a = x+y, b = x-y, то . Поэтому

Сразу же можно вывести

1. Формулу для разбиения произведения синуса и косинуса в сумму : sin a cos b = 0.5(sin (a+b) +sin (a-b))

Рекомендуем потренироваться и вывести самостоятельно формулы для преобразования в произведение разности синусов и суммы и разности косинусов, а также для разбиения в сумму произведений синусов и косинусов. Проделав эти упражнения, вы досконально освоите мастерство вывода тригонометрических формул и не потеряетесь даже на самой сложной контрольной, олимпиаде или тестировании.

В этой статье мы поговорим об универсальной тригонометрической подстановке . Она подразумевает выражение синуса, косинуса, тангенса и котангенса какого-либо угла через тангенс половинного угла. Более того, такая замена проводится рационально, то есть, без корней.

Сначала мы запишем формулы, выражающие синус, косинус, тангенс и котангенс через тангенс половинного угла. Дальше покажем вывод этих формул. А в заключение рассмотрим несколько примеров использования универсальной тригонометрической подстановки.

Навигация по странице.

Синус, косинус, тангенс и котангенс через тангенс половинного угла

Для начала запишем четыре формулы, выражающие синус, косинус, тангенс и котангенс угла через тангенс половинного угла .

Указанные формулы справедливы для всех углов , при которых определены входящие в них тангенсы и котангенсы:

Вывод формул

Разберем вывод формул, выражающих синус, косинус, тангенс и котангенс угла через тангенс половинного угла. Начнем с формул для синуса и косинуса.

Представим синус и косинус по формулам двойного угла как и соответственно. Теперь выражения и запишем в виде дробей со знаменателем 1 как и . Дальше на базе основного тригонометрического тождества заменяем единицы в знаменателе на сумму квадратов синуса и косинуса, после чего получаем и . Наконец, числитель и знаменатель полученных дробей делим на (его значение отлично от нуля при условии ). В итоге, вся цепочка действий выглядит так:


и

На этом вывод формул, выражающих синус и косинус через тангенс половинного угла, закончен.

Осталось вывести формулы для тангенса и котангенса. Теперь, учитывая полученные выше формулы, и формулы и , сразу получаем формулы, выражающие тангенс и котангенс через тангенс половинного угла:

Итак, мы вывели все формулы для универсальной тригонометрической подстановки.

Примеры использования универсальной тригонометрической подстановки

Для начала рассмотрим пример применения универсальной тригонометрической подстановки при преобразовании выражений.

Пример.

Приведите выражение к выражению, содержащему лишь одну тригонометрическую функцию .

Решение.

Ответ:

.

Список литературы.

• Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред. шк./Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: ил.- isbn 5-09-002727-7
• Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1993. - 351 с.: ил. - ISBN 5-09-004617-4.
• Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Косинус суммы и разности двух углов

В этом параграфе будут доказаны следующие две формулы:

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β, (1)

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β. (2)

Косинус суммы (разности) двух углов равен произведению косинусов этих углов минус (плюс) произведение синусов этих углов.

Нам удобнее будет начать с доказательства формулы (2). Для простоты изложения предположим сначала, что углы α и β удовлетворяют следующим условиям:

1) каждый из этих углов неотрицателен и меньше 2π :

0 < α < 2π, 0 < β < 2π;

2) α > β .

Пусть положительная часть оси 0х является общей начальной стороной углов α и β .

Конечные стороны этих углов обозначим соответственно через 0А и 0В. Очевидно, что угол α - β можно рассматривать как такой угол, на который нужно повернуть луч 0В вокруг точки 0 против часовой стрелки, чтобы его направление совпало с направлением луча 0А.

На лучах 0А и 0В отметим точки М и N, отстоящие от начала координат 0 на расстоянии 1, так что 0М = 0N = 1.

В системе координат х0у точка М имеет координаты (cos α, sin α ), а точка N - координаты (cos β , sin β ). Поэтому квадрат расстояния между ними равен:

d 1 2 = (cos α - cos β) 2 + (sin α - sin β) 2 = cos 2 α - 2 cos α cos β +

+ cos 2 β + sin 2 α - 2sin α sin β + sin 2 β = .

При вычислениях мы воспользовались тождеством

sin 2 φ + cos 2 φ = 1 .

Теперь рассмотрим другую систему координат В0С, которая получается путем поворота осей 0х и 0у вокруг точки 0 против часовой стрелки на угол β .

В этой системе координат точка М имеет координаты (cos (α - β ), sin (α - β )), а точка N -координаты (1,0). Поэтому квадрат расстояния между ними равен:

d 2 2 = 2 + 2 = cos 2 (α - β) - 2 cos (α - β) + 1 +

+ sin 2 (α - β) = 2 .

Но расстояние между точками М и N не зависит от того, относительно какой системы координат мы рассматриваем эти точки. Поэтому

d 1 2 = d 2 2

2 (1 - cos α cos β - sin α sin β) = 2 .

Отсюда и вытекает формула (2).

Теперь следует вспомнить о тех двух ограничениях, которые мы наложили для простоты изложения на углы α и β .

Требование, чтобы каждый из углов α и β был неотрицательным, на самом деле не существенно. Ведь к любому из этих углов можно прибавить угол, кратный 2я, что никак не отразится на справедливости формулы (2). Точно так же от каждого из данных углов можно вычесть угол, кратный 2π . Поэтому можно считать, что 0 < α < 2π , 0 < β < 2π .

Не существенным оказывается и условие α > β . Действительно, если α < β , то β >α ; поэтому, учитывая четность функции cos х , получаем:

cos (α - β) = cos (β - α) = cos β cos α + sin β sin α,

что по существу совпадает с формулой (2). Таким образом, формула

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

верна для любых углов α и β . В частности, заменяя в ней β на -β и учитывая, что функция cos х является четной, а функция sin х нечетной, получаем:

cos (α + β) = cos [α - (- β)] =cos α cos (-β) + sin α sin (-β) =

= cos α cos β - sin α sin β,

что доказывает формулу (1).

Итак, формулы (1) и (2) доказаны.

Примеры.

1) cos 75° = cos (30° + 45°) = cos 30° cos 45°-sin 30°-sin 45° =

2) cos 15° = cos (45° - 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° =

Упражнения

1 . Вычислить, не пользуясь тригонометрическими таблицами:

a) cos 17° cos 43° - sin 17° sin 43°;

б) sin 3° sin 42° - cos 39° cos 42°;

в) cos 29° cos 74° + sin 29° sin 74°;

г) sin 97° sin 37° + cos 37° cos 97°;

д) cos 3π / 8 cos π / 8 + sin 3π / 8 sin π / 8 ;

e) sin 3π / 5 sin 7π / 5 - cos 3π / 5 cos 7π / 5 .

2.Упростить выражения:

a). cos (α + π / 3 ) + cos (π / 3 - α ) .

б). cos (36° + α ) cos (24° - α ) + sin (36° + α ) sin (α - 24°).

в). sin (π / 4 - α ) sin (π / 4 + α ) - cos (π / 4 + α ) cos (π / 4 - α )

г) cos 2α + tg α sin 2α .

3 . Вычислить :

a) cos (α - β) , если

cos α = - 2 / 5 , sin β = - 5 / 13 ;

90° < α < 180°, 180° < β < 270°;

б) cos (α + π / 6), если cos α = 0,6;

3π / 2 < α < 2π.

4 . Найти cos (α + β) и cos (α - β) ,если известно, что sin α = 7 / 25 , cos β = - 5 / 13 и оба угла (α и β ) оканчиваются в одной и той же четверти.

5 .Вычислить:

а). cos [ arcsin 1 / 3 + arccos 2 / 3 ]

б). cos [ arcsin 1 / 3 - arccos (- 2 / 3)] .

в). cos [ arctg 1 / 2 + arccos (- 2) ]

Самые часто задаваемые вопросы

Возможно ли, изготовить печать на документе по предоставленному образцу? Ответ Да, возможно. Отправьте на наш электронный адрес скан-копию или фото хорошего качества, и мы изготовим необходимый дубликат.

Какие виды оплаты вы принимаете? Ответ Вы можете оплатить документ во время получения на руки у курьера, после того, как проверите правильность заполнения и качество исполнения диплома. Также это можно сделать в офисе почтовых компаний, предлагающих услуги наложенного платежа.
Все условия доставки и оплаты документов расписаны в разделе «Оплата и доставка». Также готовы выслушать Ваши предложения по условиям доставки и оплаты за документ.

Могу ли я быть уверена, что после оформления заказа вы не исчезнете с моими деньгами? Ответ В сфере изготовления дипломов у нас достаточно длительный опыт работы. У нас есть несколько сайтов, который постоянно обновляются. Наши специалисты работают в разных уголках страны, изготавливая свыше 10 документов день. За годы работы наши документы помогли многим людям решить проблемы трудоустройства или перейти на более высокооплачиваемую работу. Мы заработали доверие и признание среди клиентов, поэтому у нас совершенно нет причин поступать подобным образом. Тем более, что это просто невозможно сделать физически: Вы оплачиваете свой заказ в момент получения его на руки, предоплаты нет.

Могу я заказать диплом любого ВУЗа? Ответ В целом, да. Мы работаем в этой сфере почти 12 лет. За это время сформировалась практически полная база выдаваемых документов почти всех ВУЗов страны и за разные года выдачи. Все, что Вам нужно – выбрать ВУЗ, специальность, документ, и заполнить форму заказа.

Что делать при обнаружении в документе опечаток и ошибок? Ответ Получая документ у нашего курьера или в почтовой компании, мы рекомендуем тщательно проверить все детали. Если будет обнаружена опечатка, ошибка или неточность, Вы имеете право не забирать диплом, при этом нужно указать обнаруженные недочеты лично курьеру или в письменном виде, отправив письмо на электронную почту.
В кратчайшие сроки мы исправим документ и повторно отправим на указанный адрес. Разумеется, пересылка будет оплачена нашей компанией.
Чтобы избежать подобных недоразумений, перед тем, как заполнять оригинальный бланк, мы отправляем на почту заказчику макет будущего документа, для проверки и утверждения окончательного варианта. Перед отправкой документа курьером или почтой мы также делаем дополнительное фото и видео (в т. ч. в ультрафиолетовом свечении), чтобы Вы имели наглядное представление о том, что получите в итоге.

Что нужно сделать, чтобы заказать диплом в вашей компании? Ответ Для заказа документа (аттестата, диплома, академической справки и др.) необходимо заполнить онлайн-форму заказа на нашем сайте или сообщить свою электронную почту, чтобы мы выслали вам бланк анкеты, который нужно заполнить и отправить обратно нам.
Если вы не знаете, что указать в каком-либо поле формы заказа/анкеты, оставьте их незаполненными. Всю недостающую информацию мы потому уточним в телефонном режиме.

Последние отзывы

Алексей:

Мне нужно было приобрести диплом для устройства на работу по профессии менеджер. И самое главное, что и опыт, и навыки у меня есть, но без документа я не могу, никуда устроится. Попав на ваш сайт, все-таки решился на покупку диплома. Диплом был выполнен за 2 дня!! Теперь у меня есть работа, о которой я раньше и не мечтал!! Спасибо!