Если вы попали на эту страницу, то вы наверняка уже пытались решить «тест 9 точек», а именно соединить девять точек четырьмя прямыми линиями не отрывая ручки от листа бумаги. Если у вас не получилось разгадать эту головоломку, не отчаивайтесь. На этой странице вы сможете найти несколько решений этой знаменитой непростой задачи о девяти точках, которые напрягли умы уже многих тысяч, если не миллионов людей.
Условие задачи
Условие:
Условие: нужно соединить нарисованные девять точек четырьмя прямыми линиями не отрывая ручки от листа бумаги.
Эта задача является не такой уж простой, как может показаться. Чтобы ее решить нужно думать нестандартно и применить свое творческое мышление , иначе ничего не получится. Если пытаться действовать в лоб начать соединять все точки стандартными линиями, то вы можете потратить уйму времени и так и не решить задачу девяти точек. Наше стандартное мышление, которому нас учат в школе, направляет нас искать решение, опираясь лишь на шесть типичных линий: 4 стороны квадрата и 2 его диагонали. Большинству людей кажется, что решение головоломки о 9 точках должно лежать именно в этих рамках. Но его там нет. Его даже не найти если подключить еще 2 линии между центрами сторон квадрата:
Вообще между всеми девятью точками можно провести всего 20 прямых линий: 4 стороны квадрата; 2 диагонали; 6 линий, соединяющих центры сторон большого квадрата; 8 линий соединяющих центры сторон большого квадрата с его углами. Как нарисовать все отрезки, соединяющие наши 9 точек, показано на рисунке ниже:
Но, даже используя эту схему, невозможно найти 4 линии, которыми можно было бы соединить все девять точек, не отрывая руки.
Верное решение «теста 9 точек»
Решение этой головоломки лежит несколько шире нашего стандартного восприятия задачи. Для того, чтобы самостоятельно найти верный подход вспомните, что:
- Через любые 2 точки можно провести только одну прямую линию.
- Прямая линия – это не отрезок и, следовательно, нам не обязательно ограничиваться при рисовании линий нашими девятью синими кружками.
Таким образом, давайте попробуем продолжить линии за пределы, ограничивающего нас до недавнего времени квадрата. Тут видно, что область нашего поиска значительно увеличилась. Потрудившись немного можно прийти к одному из правильных решений.
Последовательность соединений девяти точек четырьмя линиями:
- Для начала проведите линию, соединяющую точку №1 и точку №7, через точку №4. Не останавливайте движение и рисуйте дальше примерно столько, сколько от точки №4 до точки №7.
- Далее двигайтесь по диагонали направо-вверх, соединяя точки №8 и №6. Не останавливайтесь на точке №6 и продолжайте линию до мысленной прямой, проходящей через верхнюю сторону нашего квадрата.
- Нарисуйте линию справа налево последовательно через точки №3, №2 и №1. Остановитесь на точке №1.
- Теперь проведите финальный отрезок через точки №1, №5 и №9. Все 9 точек, и правда, соединены четырьмя линиями, как и требовалось в условии задачи.
Другие варианты. Этот способ не единственный, начинать можно от любого угла и двигаться одном из двух направлений. На сайте 4brain таких вариантов решения задачи «9 точек 4 линии» представлено минимум 12:
Только подумайте, задача, которую многие никак не могут решить, имеет 12 способов решения. Также смотрите упрощенный вариант этой задачи : как соединить 4 точки тремя линиями, чтобы линии замыкались в целую фигуру.
Творческий подход в этой головоломке
Большинство людей, которые решали эту задачу, так и не смогли выбраться за рамки стандартного мышления, которое в данном тесте выражено квадратом, образованным девятью точками. Нам комфортно смотреть на любую жизненную задачу прямо, наиболее просто. С другой стороны, человек может потратить много времени и сил для того, чтобы, используя стандартный подход, найти верное решение, когда это решение лучше искать, изначально подойдя к процессу творчески.
В нашей жизни мы часто сталкиваемся с такими задачами о «девяти точках и четырех линиях», и для того, чтобы их решать развивайте свое креативное мышление , в том числе и при помощи нашего тренинга . Ведь задача о 9 точках имеет и другие решения (об этом читайте дальше).
Другие способы решения
Изменив наш фрейм или применив латеральный разрыв можно найти и другие варианты решения этой задачи. Например, метод гиперболизации при создании латерального разрыва может нас привести к мысли, что никто не уточняет, что в задаче должны применяться стандартные условия геометрии (о бесконечной малости точек и бесконечной тонкости линий). Пусть наша линия будет настолько широкой, что сможет сразу пересекать несколько точек по своей ширине. Тогда мы не то что 4-мя линиями сможем соединить все 9 точек, а даже одной.
Кроме того, даже в нашем изображении 4-х точек, которое дано в нашем условии головоломки о 9 точках, сами точки-кружки достаточно большие, чтобы можно было их соединить 3-мя линиями вот так:
А может вообще не стоит ограничиваться двухмерным пространством или использовать концепцию искривления пространства. Также мы можем акцентировать внимание на фразу «не отрывая ручки от листа бумаги», и просто положив ручку на бок передвинуть ее и таким образом нарисовать просто 3 параллельных линии.
Нестандартная по своему рассуждению задачка о том, как соединить 9 точек 4 линиями, заставляет разбить стереотипы и включить творчество.
Как правильно расположить точки и рисунок?
На листе бумаги, лучше если он будет в клеточку, нужно нарисовать 9 точек. Они должны быть расположены по три в ряд. Выглядеть схема будет, как квадратик, в центре которого стоит точка, и посередине каждой из сторон тоже она имеется. Лучше, если этот рисунок расположить в стороне от краев листа. Такое размещение квадратика потребуется для того, чтобы правильно решить задачу о том, как соединить 9 точек 4 линиями.
Условие задачи
Требования, которые обязательно нужно учесть:
Соблюдая эти правила, нужно соединить 9 точек 4 линиями. Очень часто уже через пару минут размышлений над этим рисунком человек начинает утверждать, что ответа у этого задания нет.
Решение задачи
Главное в том, чтобы забыть все, чему учили в школе. Там дают стереотипные представления, которые здесь только помешают.
Основная причина того, что задание о том, как соединить 9 точек 4 линиями, не разгадывается в следующем случае: они заканчиваются в нарисованных точках.
Это принципиально неправильно. Точки — это концы отрезков, а в задаче явно говорится о линиях. Этим и нужно обязательно воспользоваться.
Начинать можно с любой вершины квадрата. Главное, именно угол, какой конкретно, не принципиально. Пусть обозначены точки будут слева, двигаясь направо, и сверху, перемещаясь вниз. То есть в первом ряду находятся 1, 2 и 3, второй состоит из 4, 5 и 6, а третий образован 7, 8 и 9.
Пусть начало будет находиться в первой точке. Тогда, чтобы соединить 9 точек 4 линиями, потребуется выполнить следующее.
- Вести луч по диагонали к точкам 5 и 9.
- На последней нужно остановиться — это конец первой линии.
- Дальше есть два пути, они оба равноценны и приведут к одинаковому результату. Первый направится к числу 8, то есть влево. Второй — к шестерке или вверх. Пусть будет последний вариант.
- Вторая линия начинается в точке 9 и идет через 6 и 3. Но на последней цифре она не заканчивается. Ее нужно продолжить вверх еще на такой отрезок, как если бы там была нарисована еще одна точка. Здесь будет конец второй линии.
- Теперь снова диагональ, которая пройдет через цифры 2 и 4. Нетрудно догадаться, что второе число не является концом третьей линии. Ее нужно продолжить, как было со второй. Так закончилась третья линия.
- Осталось провести четвертую через точки 7 и 8, которая должна закончиться в цифре 9.
На этом задание завершено и все условия соблюдены. Кому-то эта фигура напоминает зонт, а кто-то утверждает, что она — стрелка.
Если записать короче план того, как соединить 9 точек 4 линиями, то получится следующее: начать в 1, продолжить в 5, поворот в 9, провести в 6 и 3, продлить до (0), повернуть на 2 и 4, продолжить до (0), свернуть к 7, 8 и 9. Здесь (0) обозначены концы отрезков, у которых нет цифр.
В качестве заключения
Теперь можно еще поломать голову над более сложной задачкой. В ней уже 16 точек, расположенных аналогично рассмотренному заданию. И соединить их нужно уже 6 линиями.
Если и это задание оказалось по зубам, то можно попытаться решить другие, с такими же требованиями, но отличающиеся набором точек и прямых, из следующего списка:
- 25 точек в порядке квадрата, как и все последующие, и 8 прямых;
- 36 точек на 10 линий, которые не прерываются, потому что ручку нельзя отрывать от листа;
- 49 точек, соединенные 12 линиями.
, Внеклассная работа
I. Постановка проблемной ситуации.
Наверное, все помнят с детства, что очень популярна была следующая задача: не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по одной линии дважды, начертить “открытый конверт”:
Попробуйте нарисовать “открытый
конверт”.
Как вы видите, что у некоторых получается, а у
некоторых нет. Почему это происходит? Как
правильно рисовать, чтобы получилось? И для чего
она нужна? Чтобы ответить на эти вопросы, я
расскажу вам, один исторический факт.
Город Кенигсберг (после мировой войны он называется Калининград) стоит на реке Преголь. Некогда там было 7 мостов, которые связывали между собой берега и два острова. Жители города заметили, что они никак не могут совершить прогулку по всем семи мостам, пройдя по каждому из них ровно один раз. Так возникла головоломка: “можно ли пройти все семь кенигсбергских мостов ровно один раз и вернуться в исходное место?”.
Попробуйте и вы, может у кого-нибудь получится.
В 1735 году эта задача стала известна Леонарду Эйлеру. Эйлер выяснил, что такого пути нет, т. е. доказал, что эта задача неразрешима. Конечно, Эйлер решил не только задачу о кенигсбергский мостах, а целый класс аналогичных задач, для которых разработал метод решения. Можно заметить, что задача состоит в том, чтобы по карте провести маршрут – линию, не отрывая карандаша от бумаги, обойти все семь мостов и вернуться в начальную точку. Поэтому Эйлер стал рассматривать вместо карты мостов схему из точек и линий, отбросив мосты, острова и берега, как не математические понятия. Вот что у него получилось:
А, В – острова, M, N – берега, а семь кривых – семь мостов.
Теперь задача такая – обойти контур на
рисунке так, чтобы каждая кривая проводилась
ровно один раз.
В наше время такие схемы из точек и линий стали
называть графами, точки называют вершинами
графа, а линии – ребрами графа. В каждой вершине
графа сходится несколько линий. Если число линий
четно, то вершина называется четная, если число
вершин нечетно, то вершина называется нечетной.
Докажем неразрешимость нашей задачи.
Как видим, в нашем графе все вершины нечетные. Для
начала докажем, что, если обход графа начинается
не с нечетной точки, то он обязательно должен
закончится в этой точке
Рассмотрим для примера вершину с тремя
линиями. Если мы по одной линии пришли, по другой
вышли, и по третьей опять вернулись. Все дальше
идти некуда (ребер больше нет). В нашей задаче мы
сказали, что все точки нечетные, значит, выйдя из
одной из них, мы должны закончить сразу в трех
остальных нечетных точках, чего не может быть.
До Эйлера ни кому в голову не приходило, что
головоломка о мостах и другие головоломки с
обходом контура, имеет отношение к математике.
Анализ Эйлера таких задач “является первым
ростком новой области математики, сегодня
известной под названием топология”.
Топология
– это раздел математики,
изучающий такие свойства фигур, которые не
меняются при деформациях, производимых без
разрывов и склеивания.
Например, с точки зрения топологии, круг, эллипс,
квадрат и треугольник обладают одинаковыми
свойствами и являются одной и той же фигурой, так
как можно деформировать одну в другую, а вот
кольцо к ним не относится, так как, чтобы его
деформировать в круг, необходима склейка.
II. Признаки вычерчивания графа.
1. Если в графе нет нечетных точек, то ее можно нарисовать одним росчерком, не отрывая карандаша от бумаги, начиная с любого места.
2. Если в графе две нечетные вершины, то ее можно начертить одним росчерком, не отрывая карандаша от бумаги, причем вычерчивать нужно начинать в одной нечетной точке, а закончить в другой.
3. Если в графе более двух нечетных точек, то ее нельзя начертить одним росчерком карандаша.
Вернемся к нашей задаче с открытым конвертом. Подсчитаем количество четных и нечетных точек: 2 нечетные и 3 четные, значит, эту фигуру можно начертить одним росчерком, причем начать нужно в нечетной точке. Попробуйте, теперь у всех получилось?
Закрепим полученные знания. Определите, какие фигуры можно построить, а какие нельзя.
а) Все точки четные, поэтому эту фигуру можно построить, начиная с любого места, например:
б) В этой фигуре две нечетные точки,
поэтому ее можно построить не отрывая, карандаша
от бумаги, начиная с нечетной точки.
в) В этой фигуре четыре нечетные точки, поэтому ее
нельзя построить.
г) Здесь все точки четные, поэтому ее можно
построить, начиная с любого места.
Проверим, как вы усвоили новые знания.
III. Самостоятельная работа по карточкам с индивидуальными заданиями.
Задание : проверить, можно ли совершить прогулку по всем мостам, пройдя по каждому из них ровно один раз. И если можно, то нарисовать путь.
IV. Итоги занятия.
Мы вдохновились японским аниматором и иллюстратором Kazuhiko Okushita.
Художник создает рисунки, не отрывая карандаша от бумаги. Очень полезное занятие! Развивает фантазию, мышление, оттачивает графику и тренирует руку.
Лера не могла остановиться))
Детская фантазия не дремлет! Это не весь результат ее бурной деятельности) Но меня сразили акулы! Все нарисовано дочкой, не отрывая руки.
А потом мы придумали и для Егора способ рисования без отрыва руки.
Для такого рисования вам понадобятся: клей ПВА - много, нитки - любые толстые, Лист А3, краски и кисти.
Сначала выливаем клей в удобную емкость, опускаем в клей нить - она должна хорошенько пропитаться ПВА.
Затем достаем ее вот таким образом.
Или таким))
Кстати с склеиными руками очень интересно поиграть)
И выкладываем нить на лист бумаги. Формируем узор. Если у вас нить прерывается, то нужно подкладывать новую к концу старой. Но в принципе можно и в произвольном порядке.
А Лере понравилось потом отдирать сухой клей от рук)) Занятие очень многоплановое)))
И теперь уже добавляем краски!
Егор так увлекся, что рисовал даже пальчиками.
Думаю, что всем должно понравиться такое рисование! Показывайте, что получилось у вас!