Смешанные дроби также, как и простые дроби можно вычитать. Чтобы отнять смешанные числа дробей нужно знать несколько правил вычитания. Изучим эти правила на примерах.
Вычитание смешанных дробей с одинаковыми знаменателями.
Рассмотрим пример с условием, что уменьшаемое целое и дробная часть больше соответственно вычитаемого целой и дробной части. При таких условиях вычитание происходит отдельно. Целую часть вычитаем из целой части, а дробную часть из дробной .
Рассмотрим пример:
Выполните вычитание смешанных дробей \(5\frac{3}{7}\) и \(1\frac{1}{7}\).
\(5\frac{3}{7}-1\frac{1}{7} = (5-1) + (\frac{3}{7}-\frac{1}{7}) = 4\frac{2}{7}\)
Правильность вычитания проверяется сложением. Сделаем проверку вычитания:
\(4\frac{2}{7}+1\frac{1}{7} = (4 + 1) + (\frac{2}{7} + \frac{1}{7}) = 5\frac{3}{7}\)
Рассмотрим пример с условием, когда дробная часть уменьшаемого меньше соответственно дробной части вычитаемого. В таком случае мы занимаем единицу у целого в уменьшаемом.
Рассмотрим пример:
Выполните вычитание смешанных дробей \(6\frac{1}{4}\) и \(3\frac{3}{4}\).
У уменьшаемого \(6\frac{1}{4}\) дробная часть меньше чем у дробной части вычитаемого \(3\frac{3}{4}\). То есть \(\frac{1}{4} < \frac{1}{3}\), поэтому сразу отнять мы не сможем. Займем у целой части у 6 единицу, а потом выполним вычитание. Единицу мы запишем как \(\frac{4}{4} = 1\)
\(\begin{align}&6\frac{1}{4}-3\frac{3}{4} = (6 + \frac{1}{4})-3\frac{3}{4} = (5 + \color{red} {1} + \frac{1}{4})-3\frac{3}{4} = (5 + \color{red} {\frac{4}{4}} + \frac{1}{4})-3\frac{3}{4} = (5 + \frac{5}{4})-3\frac{3}{4} = \\\\ &= 5\frac{5}{4}-3\frac{3}{4} = 2\frac{2}{4} = 2\frac{1}{4}\\\\ \end{align}\)
Следующий пример:
\(7\frac{8}{19}-3 = 4\frac{8}{19}\)
Вычитание смешанного дроби из целого числа.
Пример: \(3-1\frac{2}{5}\)
Уменьшаемое 3 не имеет дробной части, поэтому сразу отнять мы не сможем. Займем у целой части у 3 единицу, а потом выполним вычитание. Единицу мы запишем как \(3 = 2 + 1 = 2 + \frac{5}{5} = 2\frac{5}{5}\)
\(3-1\frac{2}{5}= (2 + \color{red} {1})-1\frac{2}{5} = (2 + \color{red} {\frac{5}{5}})-1\frac{2}{5} = 2\frac{5}{5}-1\frac{2}{5} = 1\frac{3}{5}\)
Вычитание смешанных дробей с разными знаменателями.
Рассмотрим пример с условием, если дробные части уменьшаемого и вычитаемого с разными знаменателями. Нужно привести к общему знаменателю, а потом выполнить вычитание .
Выполните вычитание двух смешанных дробей с разными знаменателями \(2\frac{2}{3}\) и \(1\frac{1}{4}\).
Общим знаменателем будет число 12.
\(2\frac{2}{3}-1\frac{1}{4} = 2\frac{2 \times \color{red} {4}}{3 \times \color{red} {4}}-1\frac{1 \times \color{red} {3}}{4 \times \color{red} {3}} = 2\frac{8}{12}-1\frac{3}{12} = 1\frac{5}{12}\)
Вопросы по теме:
Как вычитать смешанные дроби? Как решать смешанные дроби?
Ответ: нужно определиться к какому типу относиться выражение и по типу выражения применять алгоритм решения. Из целой части вычитаем целое, у дробной части вычитаем дробную часть.
Как из целого числа вычесть дробь? Как от целого числа отнять дробь?
Ответ: у целого числа нужно занять единицу и записать эту единицу в виде дроби
\(4 = 3 + 1 = 3 + \frac{7}{7} = 3\frac{7}{7}\),
а потом целое отнять от целого, дробную часть отнять от дробной части. Пример:
\(4-2\frac{3}{7} = (3 + \color{red} {1})-2\frac{3}{7} = (3 + \color{red} {\frac{7}{7}})-2\frac{3}{7} = 3\frac{7}{7}-2\frac{3}{7} = 1\frac{4}{7}\)
Пример №1:
Выполните вычитание правильной дроби из единицы: а) \(1-\frac{8}{33}\) б) \(1-\frac{6}{7}\)
Решение:
а) Представим единицу как дробь со знаменателем 33. Получим \(1 = \frac{33}{33}\)
\(1-\frac{8}{33} = \frac{33}{33}-\frac{8}{33} = \frac{25}{33}\)
б) Представим единицу как дробь со знаменателем 7. Получим \(1 = \frac{7}{7}\)
\(1-\frac{6}{7} = \frac{7}{7}-\frac{6}{7} = \frac{7-6}{7} = \frac{1}{7}\)
Пример №2:
Выполните вычитание смешанной дроби из целого числа: а) \(21-10\frac{4}{5}\) б) \(2-1\frac{1}{3}\)
Решение:
а) Займем у целого числа 21 единицу и распишем так \(21 = 20 + 1 = 20 + \frac{5}{5} = 20\frac{5}{5}\)
\(21-10\frac{4}{5} = (20 + 1)-10\frac{4}{5} = (20 + \frac{5}{5})-10\frac{4}{5} = 20\frac{5}{5}-10\frac{4}{5} = 10\frac{1}{5}\\\\\)
б) Займем у целого числа 2 единицу и распишем так \(2 = 1 + 1 = 1 + \frac{3}{3} = 1\frac{3}{3}\)
\(2-1\frac{1}{3} = (1 + 1)-1\frac{1}{3} = (1 + \frac{3}{3})-1\frac{1}{3} = 1\frac{3}{3}-1\frac{1}{3} = \frac{2}{3}\\\\\)
Пример №3:
Выполните вычитание целого числа из смешанной дроби: а) \(15\frac{6}{17}-4\) б) \(23\frac{1}{2}-12\)
а) \(15\frac{6}{17}-4 = 11\frac{6}{17}\)
б) \(23\frac{1}{2}-12 = 11\frac{1}{2}\)
Пример № 4:
Выполните вычитание правильной дроби из смешанной дроби: а) \(1\frac{4}{5}-\frac{4}{5}\)
\(1\frac{4}{5}-\frac{4}{5} = 1\\\\\)
Пример №5:
Вычислите \(5\frac{5}{16}-3\frac{3}{8}\)
\(\begin{align}&5\frac{5}{16}-3\frac{3}{8} = 5\frac{5}{16}-3\frac{3 \times \color{red} {2}}{8 \times \color{red} {2}} = 5\frac{5}{16}-3\frac{6}{16} = (5 + \frac{5}{16})-3\frac{6}{16} = (4 + \color{red} {1} + \frac{5}{16})-3\frac{6}{16} = \\\\ &= (4 + \color{red} {\frac{16}{16}} + \frac{5}{16})-3\frac{6}{16} = (4 + \color{red} {\frac{21}{16}})-3\frac{3}{8} = 4\frac{21}{16}-3\frac{6}{16} = 1\frac{15}{16}\\\\ \end{align}\)
Цели урока:
- Повторение и закрепление основного программного материала, выраженного в стандартных примерах и нестандартных задачах.
- Совершенствование навыков арифметических операций складывание и вычитание смешанных чисел;
- Развивать смекалку, мышление, речь, память.
- Воспитывать познавательный интерес к предмету, любовь к поисковым решениям.
Задачи урока:
- Образовательные
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.
Форма урока:, частично поисковый с элементами дидактической игры.
Межпредметные связи: биология.
Оборудование урока:
- плакат;
- раздаточный материал: карточки с заданием;
- презентация по теме урока.
Применение здоровьесберегающих технологий на уроке:
- смена видов деятельности;
- развитие слухового и зрительного анализаторов у каждого ребёнка.
План урока
I. Организационный момент.
Здравствуйте. Садитесь.
Презентация . Слайд 1. Тема урока: “Сложение и вычитание смешанных чисел”.
Цели урока:
- Повторение и закрепление основного программного материала, выраженного в стандартных примерах и нестандартных задачах.
- Совершенствование навыков арифметических действий складывание и вычитание смешанных чисел, подготовка к контрольной работе.
II. Актуализация опорных знаний.
На доске плакат с словами Лауэ.
Наш урок пройдёт под девизом французского инженера – физика Лауэ: “Образование есть то, что остаётся, когда всё выученное уже забыто”.
Вот сейчас вы и покажете свои знания на сложение и вычитание обыкновенных дробей с разными знаменателями, а также сложение и вычитание смешанных чисел.
1) Вспомните знаменитую басню И.Крылова “Стрекоза и муравей”.
Попрыгунья стрекоза, лето красное пропела
Оглянуться не успела, как зима катит в глаза.
Задача. Попрыгунья Стрекоза половину красного лета спала, третью часть времени – танцевала, шестую часть – пела. Остальное время она решила посвятить подготовке к зиме. Какую часть лета Стрекоза готовилась к зиме?
Ответ: летом к зиме Стрекоза совсем не готовилась.
А сейчас, вспомним сокращение дробей:
Выпишите из данных дробей те, которые можно сократить, и выполните сокращение:
Вспомните какие дроби называются правильные и какие неправильные?
– Правильные дроби, те у которых числитель меньше знаменателя.
– Неправильные дроби, те у которых числитель больше либо равен знаменателю.
(Карточки: читаете дробь и называете – правильная или неправильная дробь.)
Как выделить целую часть из неправильной дроби?
– Числитель надо разделить на знаменатель.
(Устно карточки: выделить целую часть из неправильной дроби.)
III. Систематизация знаний. Карточки. Выполнить сложение и вычитание обыкновенных дробей. Слева примеры, справа записаны ответы. Решив пример стрелкой соотнеси с ответом.
Слайды 2–7. Это удивительное дерево относится к числу деревьев – гигантов. Оно растёт в Индии и Малайзии.
Самое необычное в нём то, как растут его ветви. Многочисленные и тяжёлые, они разбегаются во всех направлениях от ствола, хотя и могучего, но, тем не менее, не способного выдержать их все самостоятельно.
Весь фокус в том, что ветви сами снимают с него часть нагрузки: на каждой из них имеются толстые отростки, отвесно свисающие до самой земли и представляющие собой не что иное, как воздушные корни дерева.
Закрепившись в земле, они не только обеспечивают ветвям дополнительную поддержку, но и поставляют в них питательные вещества и воду. Постепенно они превращаются в новые стволы и вокруг главного ствола образуются кольцеобразные “галереи”, диаметр которых иногда достигает 450 м.
Решив задачи, а также вычислив значения выражений, заменим числа соответствующими буквами и вы узнаете название этого дерева.
Решите задачу:
Вычислите значения выражения:
Ответ: БАНЬЯН.
Итог урока : Мы готовились к контрольной работе. Для этого мы с вами и повторили сложение и вычитание дробей, а также смешанных чисел. Не забывайте сокращать дроби, которые получились в результате сложения и вычитания, и не забывайте выделять целую часть.
Дом. задание: § 2,п.12 № 392.
При наличии времени выполнить дополнительные задания.
Дополнительное задание:
- Решите уравнение:
Карточки:
Выполнить сложение и вычитание обыкновенных дробей.
_________________________________________
Решите задачу:
Вычислите значения выражения:
Самоанализ урока математики в 6 “а” классе.
Тема урока: Сложение и вычитание смешанных чисел.
Тип урока: урок обобщения и систематизация знаний.
Форма урока: частично поисковый с элементами дидактической игры.
1) Это урок повторение и закрепление основного программного материала, но только выраженного в решение стандартных примеров и нестандартных задач. На данном уроке мы повторяли арифметические действия (сложения, вычитание) над обыкновенными дробями и над смешанными числами. Данные темы изучаются в курсе математики 6 класса. При изучении математики много времени приходится тратить на отработку различных навыков. В этот период ученики теряют интерес к предмету. Чтобы поддержать этот интерес, я использую различные приёмы активизации учащихся на уроке. Одним из таких приёмов является дидактическая игра. Она позволяет сделать процесс обучения увлекательным, создать высокую активность на уроке. На следующем уроке будет контрольная работа. Считаю, что данный урок “дал” позитивные эмоции у ребят, отработали арифметические действия над смешанными числами и настроились на контрольную работу.
2) В классе по списку – 19 учащихся, на уроке присутствовало – 16 учащихся. Слабоуспевающих – 4, сильных – 1.
3) Образовательные – обобщение и систематизация знаний; развитие быстроты
мышления; введением игровой ситуации снять нервно – психическое напряжение;
развивать умение анализировать; развивать вычислительные навыки.
Развивающие
– развивать у учащихся познавательные процессы, творческую
активность; приобретение опыта исследовательской деятельности, развитие
коммутативных качеств.
Воспитательные
– формирование навыков самоорганизации и
самостоятельности; уважительного отношения друг к другу.
В играх ненавязчиво активизируется внимание ребят, прививается интерес к
предмету, развивается творческая фантазия.
4) Одним из удачных этапов урока считаю решение задач и примеров, где надо было составить слово БАНЬЯН. Учащиеся, как бы занимаются математикой и в то же время расширяют свой кругозор.
5) Урок был насыщен. Урок очень логично построен.
6) На урок были изготовлены мною, как учителем много раздаточного материала, который я напечатала на компьютере.
Решение сложных примеров правильно – непосильная задача для тех, кто не понимает в математике элементарных правил и законов. Сложение и вычитание смешанных чисел по праву можно отнести к сложным примерам. Однако, при правильном разборе самих чисел можно легко проводить любые действия.
Что это такое?
Смешанное число – это комбинация целой части и дробной. К примеру, имеется 2 и 3, из них 2 – это простое число, а вот 3 – это уже смешанное, где 3 – целая часть, а – дробная. Представленные разновидности складываются и вычитаются по-разному, но не влекут сложностей в самостоятельном решении примеров.
Полноценный разбор примера
Для полноценного представления сущности смешанного значения следует привести в пример задачу, которая поможет отобразить смысл повествования задуманного. Итак, Вася проехал круг вокруг школы на велосипеде за 1 минуту и 30 секунд, а потом еще круг прошел пешком за 3 минуты и 30 секунд. Сколько времени затратил Вася на всю прогулку вокруг школы?
Этот пример направлен на сложение смешанных чисел, которые предварительно в данном случае даже не придется переводить в секунды. Получается, что сложение осуществляется путем отдельного прибавления минут и секунд. В результате получим следующий результат:
- Сложение минут – 1+3=4.
- Сложение секунд = 30+30=60 секунд = 1 минута.
- Общее значение 4 минуты+1 минута = 5 минут.
Если исходить из математического отображения, то представленные действия можно выделить в одном выражении:
Из представленного выше становится понятным, что складывать смешанные числа следует в отдельности по частям – сначала целые части, а затем дробные. Если дробное число дает еще целое значение, его также складывают с целым полученным ранее значением. К полученному целому значению прибавляют дробную часть – получается смешанное число.
Правила сложения
Для закрепления изученного следует привести правило сложения смешанных чисел. Здесь следует воспользоваться следующей последовательностью:
- Для начала отделить от значения части – на целую и дробную.
- Теперь сложить целые части.
- Далее сложить дробные.
- Если из дробного числа можно извлечь еще целую часть – перевести в смешанное значение – значит, проводят подобную разбивку.
- Полученную целую часть из дробного значения складывают с целым ранее полученным значением.
- К целой части прибавляют дробную.
Для пояснения следует привести несколько примеров:
Сложение смешанных чисел происходит по тому же алгоритму, что и вычитание, поэтому далее будет подробно рассмотрено следующее действие.
Правила вычитания
Как и в первом случае, для вычитания смешанных значений существует правило, но оно в корне отличается от предыдущей последовательности. Итак, здесь следует придерживаться последовательности:
- Пример на вычитание представляется в виде: уменьшаемое – вычитаемое = разность.
- В связи с приведенным уравнением следует предварительно сравнить дробные части представленных чисел.
- Если у уменьшаемого дробная часть больше, значит, вычитание проводится по тому же признаку, что и при сложении – сначала вычитаются целые, а затем дробные значения. Оба результата складывают.
- Если у уменьшаемого дробное значение меньше, значит, их предварительно переводят в неправильную дробь и осуществляют стандартное вычитание.
- Из полученной разницы определяют целую часть и дробную.
Для пояснения следует привести следующие примеры:
Из представленной статьи стало понятным, как проводить сложение и вычитание смешанных чисел. В описанном выше примере видно, что не всегда приходится видоизменять числа – переводить их из простых дробей в сложные. Зачастую достаточно просто сложить или вычесть целые и дробные значения по отдельности, что для человека с большим опытом можно легко провести в уме.
В статье подробно рассмотрены примеры, решение которых представлено в полном соответствии с математическими правилами и основами. Разобраны отдельные ситуации, для каждого приведен пример видоизменений, с которыми можно столкнуться в решении задач и сложных примеров.
