Теперь давайте разберемся с умножением и делением .
Предположим, нам нужно умножить +3 на -4. Как это сделать?
Давайте рассмотрим такой случай. Три человека залезли в долги, и у каждого по 4 доллара долга. Чему равен общий долг? Для того чтобы его найти, надо сложить все три долга: 4 доллара + 4 доллара + 4 доллара = 12 долларов. Мы с вами решили, что сложение трех чисел 4 обозначается как 3×4. Поскольку в данном случае мы говорим о долге, перед 4 стоит знак «-». Мы знаем, что общий долг равен 12 долларам, так что теперь наша задача имеет вид 3х(-4)=-12.
Мы получим тот же результат, если по условию задачи каждый из четырех человек имеет долг по 3 доллара. Другими словами, (+4)х(-3)=-12. А поскольку порядок сомножителей значения не имеет, получаем (-4)х(+3)=-12 и (+4)х(-3)=-12.
Давайте обобщим результаты. При перемножении одного положительного и одного отрицательного числа результат всегда будет отрицательным числом . Численная величина ответа будет той же самой, как и в случае положительных чисел. Произведение (+4)х(+3)=+12. Присутствие знака «-» влияет только на знак, но не влияет на численную величину.
А как перемножить два отрицательных числа?
К сожалению, на эту тему очень трудно придумать подходящий пример из жизни. Легко себе представить долг в сумме 3 или 4 доллара, но совершенно невозможно вообразить -4 или -3 человека, которые залезли в долги.
Пожалуй, мы пойдем другим путем. В умножении при изменении знака одного из множителей меняется знак произведения. Если мы меняем знаки у обоих множителей, мы должны дважды сменить знак произведения , сначала с положительного на отрицательный, а затем наоборот, с отрицательного на положительный, то есть у произведения будет первоначальный знак.
Следовательно, вполне логично, хотя немного странно, что (-3)х(-4)=+12.
Положение знака при умножении изменяется таким образом:
- положительное число х положительное число = положительное число;
- отрицательное число х положительное число = отрицательное число;
- положительное число х отрицательное число = отрицательное число;
- отрицательное число х отрицательное число = положительное число.
Иначе говоря, перемножая два числа с одинаковыми знаками, мы получаем положительное число . Перемножая два числа с разными знаками, мы получаем отрицательное число .
Такое же правило справедливо и для действия противоположного умножению – для .
Вы легко можете в этом убедиться, проведя обратные операции умножения . Если в каждом из примеров, приведенных выше, вы умножите частное на делитель, то получите делимое, и убедитесь, что оно имеет тот же самый знак, например (-3)х(-4)=(+12).
Поскольку скоро зима, то пора уже подумать о том, в что переобуть своего железного коня, что бы не скользить по льду и чувствовать себя уверено на зимних дорогах. Можно, например, взять шины йокогама на сайте: mvo.ru или какие-то другие, главное, что бы качественный, больше информации и цены вы можете узнать на сайте Mvo.ru.
В этой статье мы рассмотрим деление положительных чисел на отрицательные и наоборот. Дадим подробный разбор правила деления чисел с разными знаками, а также приведем примеры.
Правило деления чисел с разными знаками
Правило для целых чисел с разными знаками, полученное в статье о делении целых чисел, справедливо также для рациональных и действительных чисел. Приведем более общую формулировку этого правила.
Правило деления чисел с разными знаками
При делении положительного числа на отрицательное и наоборот нужно модуль делимого разделить на модуль делителя, а результат записать со знаком минус.
В буквенном виде это выглядит так:
a ÷ - b = - a ÷ b
A ÷ b = - a ÷ b .
Результатом деления чисел с разными знаками всегда является отрицательное число. Рассмотренное правило, по сути, сводит деление чисел с разными знаками к делению положительных чисел, так как модули делимого и делителя являются положительными.
Еще одна эквивалентная математическая формулировка данного правила имеет вид:
a ÷ b = a · b - 1
Чтобы разделить числа a и b , имеющие разные знаки, нужно число a умножить на число, обратное числу b , то есть b - 1 . Данная формулировка применима на множестве рациональных и действительных чисел, она позволяет перейти от деления к умножению.
Рассмотрим теперь, как применять описанную выше теорию на практике.
Как делить числа с разными знаками? Примеры
Ниже мы рассмотрим несколько характерных примеров.
Пример 1. Как делить числа с разными знаками?
Разделим - 35 на 7 .
Сначала запишем модули делимого и делителя:
35 = 35 , 7 = 7 .
Теперь разделим модули:
35 7 = 35 7 = 5 .
Допишем перед результатом знак минус и получим ответ:
Теперь воспользуемся другой формулировкой правила и вычислим число, обратное 7 .
Теперь проведем умножение:
35 · 1 7 = - - 35 · 1 7 = - 35 7 = - 5 .
Пример 2. Как делить числа с разными знаками?
Если мы делим дробные числа с рациональными знаками, делимое и делитель нужно представить в виде обыкновенных дробей.
Пример 3. Как делить числа с разными знаками?
Разделим смешанное число - 3 3 22 на десятичную дробь 0 , (23) .
Модули делимого и делителя соответственно равны 3 3 22 и 0 , (23) . Переводя 3 3 22 в обыкновенную дробь, получаем:
3 3 22 = 3 · 22 + 3 22 = 69 22 .
Делитель также представим в виде обыкновенной дроби:
0 , (23) = 0 , 23 + 0 , 0023 + 0 , 000023 = 0 , 23 1 - 0 , 01 = 0 , 23 0 , 99 = 23 99 .
Теперь делим обыкновенные дроби, выполняем сокращения и получаем результат:
69 22 ÷ 23 99 = - 69 22 · 99 23 = - 3 2 · 9 1 = - 27 2 = - 13 1 2 .
В заключение рассмотрим случай, когда делимое и делитель являются иррациональными числами и записываются в виде корней, логарифмов, степеней и т.д.
В такой ситуации частное записывается в виде числового выражения, которое по возможности упрощается. При необходимости вычисляется его приближенное значение с необходимой точностью.
Пример 4. Как делить числа с разными знаками?
Разделим числа 5 7 и - 2 3 .
По правилу деления чисел с разными знаками, запишем равенство:
5 7 ÷ - 2 3 = - 5 7 ÷ - 2 3 = - 5 7 ÷ 2 3 = - 5 7 · 2 3 .
Избавимся от иррациональности в знаменателе и получим окончательный ответ:
5 7 · 2 3 = - 5 · 4 3 14 .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Урок математики в 6 классе.
Деление чисел с разными знаками.
Цель: Научить учащихся делить числа с разными знаками.
Образовательные: Учить детей делить числа с разными знаками;
Развивающие: Развивать познавательный интерес, с помощью использования исторического материала;
Воспитывающие: Учить правильной записи деления чисел с разными знаками.
Ход урока:
1) Проверка домашнего задания.
2) Актуализация знаний.
3) Изучение нового материала.
4) Закрепление пройденного материала.
5) Запись домашнего задания.
6) Подведение итогов урока.
I . Проверка домашнего задания.
Учитель: Есть вопросы по домашнему заданию?
Если вопросов нет, то Один-два человека идут к доске, еще три человека получают карточку.
Карточка.
II . Актуализация знаний.
Найдите значение выражения.
– 0,4 * (- 2,5)
Решить уравнение:
1) х* 47= 141
III . Изучение нового материала
Решим следующее уравнение.
Что называется корнем?
Как найти корень данного уравнения?
Умеем ли мы делить числа разного знака?
На что умножить 25, что бы получилось – 125 (-5).
Сделаем проверку
5* 25= -125 , т.е. -125: 25=-5
Отсюда, пожалуйста, сделаете вывод, как делить числа разного знака?
Правило формулируют ученики.
Решим еще одно уравнение.
Умеем ли мы делить отрицательные числа?
На что нужно умножить -14 , что бы получилось -42 (3)
Т.е. -42: (-14)=3
Давайте выведем правило деление чисел одного знака.
Правило формулируют ученики.
Посмотрите какое правило Вам предлагают в учебнике. (п. 36)
IV . Закрепление пройденного материала.
Известно,
что
натуральны
ечисла
возникли
при с
чете
предметов.
Потребность
человека
и
змерять
величины
ито объстоятельство,
что
результат измерения
не
всегда
выражается
целыми
числами
при
вел
красширению
множества натуральных
чисел.
Были
введены ноль и
дробные
числа.
Процесс
историчес
кого
развити
японяти
ячисла
на
этом
не
закончился.
Однако
не
всегдапервым
толчком
красширению
понятия
числа
были
исключительно практические
потребности
людей.
Бывала
итак,
что
задачи
самой математики
требовали
расширения
понятия
числа.
Именно
так
обстояло
дело
свозникновением
отрицательных
чисел.
Давайте с вами вспомним, когда нам понадобились отрицательные числа? (при вычитании из меньшего большего.)
Для
производства
вычислений
математики того
времени
пользовались
счетной
доской,
на
которой
числа изображались
спомощью
счетных
палочек.
Так
как
знаков
+и-вто время
еще
не
было,
палочками
красного
цвета
изображали положительные
числа,
отрицательные
же
-палочками
черного
цвета.
Отрицательные
числа
долгое
время
называли
словами,
которые
означали «долг»,
«недостача».
На слайде Вы сейчас видете древние счетные доски Рилян, Греков и Китайцев.
Даже
вV
II
в.
вИндии
положительныечисла
толковались как
имущество,
аотрицательные
-как
, долг.
Вдревнем Китае
были
известны
лишь
правила
сложения
ивычитания положительных
иотрицательных
чисел;
правила
умножения
иделения не
применялись.
На слайде 8
В древней Индии математик Бхаскара
(XII
в.)
выразил
правила
умноженияиделения следующим
образом:
«Произведение
двух имуществ или
двух
долгов
есть
имущество;
произведение имущества
на
долг
есть
убыток.
То
же
правило
имеет
место
и
при делении».
Долгое время отрицательные числа вызывали неодобрение. Не
одобряли
их
долго
иевропейские
математики,
потому
что истолкование
«имущество
-долг»
вызывало
недоумения
и
сомнения.
В самом
деле,
можно
«складывать»
или
«вычитать»
имущества
идолги,
но какой
реальный
смысл
может
иметь
«умножение»
или
«деление» имущества
на
долг?
Вот почему сбольшим трудом завоевывали себе место вматематике отрицательные числа.
И только в 17 веке в Европе отрицательные числа прочно вошли в математику.
Давайте, сейчас вернемся в меню (слайд 2) . И выполним гимнастику для глаз. Каждый пункт выполнен в виде какой-либо фигуры, сейчас по очереди только глазами обведите каждую из них сначала по часовой стрелке, потом против часовой стрелки.
У каждого из Вас есть таблица, заполните ее.
b0 , 48
b0 , 48
В
1881
году
была
найдена
зарытой
вземле
близ
Бахшали (се
веро-западная
Индия)
рукопись
неизвестного
автора,
которая -
как полагают,
относится
кV
I
-V
III
вв.
Вэтом
памятнике, написонном
на
березовой
коре
иизвестном
внастоящее
время под названием «
Бахшалийской рукописи»,
содержится
такая задача: (слайд 11)
«Из
четырех
жертвователей
второй
дал
вдвое
больше первого,
третий
-втрое
больше
второго,
четвертый вчетверо больше третьего,
авсе
вместе
дали
132.
Сколько
дал первый?»
Решение: (слайд 12)
I жертвователь - Х
II жертвователь – 2х
III жертвователь- 3*2х 132
IV жертвователь- 4*3*2х
Х+ 2х+ 3*2х+4*3*2х=132
Х+2х+6х+24х=132
В этой же рукописи предложено решение методом ложного положения, когда предполагается, что первый пожертвовал - 1, второй-2 , третий-6 и четвертый -24.
Вместе получилось 33, что в 4 раза меньше 132.Следовательно, первый пожертвовал -4.
IV . Запись домашнего задания.
П. 36, № 1172 (а-е), № 1173 (а - в), № 1175.
В данной статье дается подробный обзор деления чисел с разными знаками . Сначала приведено правило деления чисел с разными знаками. Ниже разобраны примеры деления положительных чисел на отрицательные и отрицательных чисел на положительные.
Навигация по странице.
Правило деления чисел с разными знаками
В статье деление целых чисел было получено правило деления целых чисел с разными знаками . Его можно распространить и на рациональные числа , и на действительные числа , повторив все рассуждения из указанной статьи.
Итак, правило деления чисел с разными знаками имеет следующую формулировку: чтобы разделить положительное число на отрицательное или отрицательное число на положительное, надо делимого разделить на модуль делителя, и перед полученным числом поставить знак минус.
Запишем это правило деления с помощью букв. Если числа a и b имеют разные знаки, то справедлива формула a:b=−|a|:|b| .
Из озвученного правила понятно, что результатом деления чисел с разными знаками является отрицательное число. Действительно, так как модуль делимого и модуль делителя есть положительнее числа, то их частное есть положительное число, а знак минус делает это число отрицательным.
Отметим, что рассмотренное правило сводит деление чисел с разными знаками к делению положительных чисел.
Можно привести другую формулировку правила деления чисел с разными знаками: чтобы разделить число a на число b , нужно число a умножить на число b −1 , обратное числу b . То есть, a:b=a·b −1 .
Это правило можно использовать, когда есть возможность выходить за пределы множества целых чисел (так как далеко не каждое целое число имеет обратное). Иными словами, оно применимо на множестве рациональных, а также на множестве действительных чисел.
Понятно, это правило деления чисел с разными знаками позволяет от деления перейти к умножению.
Это же правило используется при делении отрицательных чисел .
Осталось рассмотреть, как данное правило деления чисел с разными знаками применяется при решении примеров.
Примеры деления чисел с разными знаками
Рассмотрим решения нескольких характерных примеров деления чисел с разными знаками , чтобы усвоить принцип применения правил из предыдущего пункта.
Пример.
Разделите отрицательное число −35 на положительное число 7 .
Решение.
Правило деления чисел с разными знаками предписывает сначала найти модули делимого и делителя. Модуль числа −35 равен 35 , а модуль числа 7 равен 7 . Теперь нам нужно разделить модуль делимого на модуль делителя, то есть, надо разделить 35 на 7 . Вспомнив, как выполняется деление натуральных чисел , получаем 35:7=5 . Остался последний шаг правила деления чисел с разными знаками – поставить минус перед полученным числом, имеем −5 .
Вот все решение: .
Можно было исходить из другой формулировки правила деления чисел с разными знаками. В этом случае сначала находим число, обратное делителю 7 . Этим числом является обыкновенная дробь 1/7 . Таким образом, . Осталось выполнить умножение чисел с разными знаками : . Очевидно, мы пришли к такому же результату.
Ответ:
(−35):7=−5 .
Пример.
Вычислите частное 8:(−60) .
Решение.
По правилу деления чисел с разными знаками имеем 8:(−60)=−(|8|:|−60|)=−(8:60)
. Полученному выражению соответствует отрицательная обыкновенная дробь (смотрите знак деления как черта дроби), можно провести сокращение дроби на 4
, получаем 
.
Запишем все решение кратко: .
Ответ:
.
При делении дробных рациональных чисел с разными знаками их обычно делимое и делитель представляют в виде обыкновенных дробей. Это связано с тем, что с числами в другой записи (например, в десятичной) не всегда удобно выполнять деление.
Пример.
Решение.
Модуль делимого равен , а модуль делителя равен 0,(23) . Чтобы провести деление модуля делимого на модуль делителя, перейдем к обыкновенным дробям.
Осуществим перевод смешанного числа в обыкновенную дробь : 
, а также
Воспитательные:
- Воспитание активности;
Тип урока
Оборудование:
- Проектор и компьютер.
План урока
1.Организационный момент
2. Актуализация знаний
3. Математический диктант
4.Выполнение теста
5. Решение упражнений
6. Итог урока
7. Домашнее задание.
Ход урока
1. Оргмомент
Сегодня мы продолжим работать над умножением и делением положительных и отрицательных чисел. Задача каждого из вас - разобраться в том, как он освоил эту тему, и если потребуется- доработать то, что еще не совсем получается. Кроме того вы узнаете много интересного о первом месяце весны - марте. (Слайд1)
2. Актуализация знаний.
3x=27; -5 x=-45; x:(2,5)=5.
3.Математический диктант (слайд 6,7)
Вариант 1
Вариант 2
4. Выполнение теста (слайд 8)
Ответ: Мартиус
5.Решение упражнений
(Слайды с 10 по 19)
4 марта -
2) y×(-2,5)=-15
6 марта
3) -50, 4:x=-4, 2
4) -0,25:5×(-260)
13 марта
5) -29,12: (-2,08)
14 марта
6) (-6-3,6×2,5) ×(-1)
7) -81,6:48×(-10)
17 марта
8) 7,15×(-4): (-1,3)
22 марта
9) -12,5×50: (-25)
10) 100+(-2,1:0,03)
30 марта
6. Итог урока
7. Домашнее задание:
Просмотр содержимого документа
«“Умножение и деление чисел с разными знаками”»
Тема урока: “Умножение и деление чисел с разными знаками”.
Цели урока: повторение изученного материала по теме “Умножение и деление чисел с разными знаками”, отработка навыков применения операций умножения и деления положительного числа на отрицательное число и наоборот, а также отрицательного числа на отрицательное число.
Задачи урока:
Образовательные:
Закрепление правил по данной теме;
Формирование умений и навыков работы с операциями умножения и деления чисел с разными знаками.
Развивающие:
Развитие познавательного интереса;
Развитие логического мышления, памяти, внимания;
Воспитательные:
Воспитание активности;
Привитие учащимся навыков самостоятельной работы;
Воспитание любви к природе, привитие интереса к народным приметам.
Тип урока . Урок-повторения и обобщения.
Оборудование:
Проектор и компьютер.
План урока
1.Организационный момент
2. Актуализация знаний
3. Математический диктант
4.Выполнение теста
5. Решение упражнений
6. Итог урока
7. Домашнее задание.
Ход урока
1. Оргмомент
Здравствуйте, ребята! Чем мы занимались на предыдущих уроках? (Умножением и делением рациональных чисел.)
Сегодня мы продолжим работать над умножением и делением положительных и отрицательных чисел. Задача каждого из вас - разобраться в том, как он освоил эту тему, и если потребуется- доработать то, что еще не совсем получается. Кроме того вы узнаете много интересного о первом месяце весны – марте. (Слайд1)
2. Актуализация знаний.
Повторить правила умножения и деления положительных и отрицательных чисел.
Вспомнить мнемоническое правило. (Слайд 2)
Выполнить умножение: (слайд 3)
5×3; 9×(-4); -10×(-8); 36×(-0,1); -20×0,5; -13×(-0,2).
2. Выполните деление: (слайд 4)
48:(-8); -24: (-2); -200:4; -4,9:7; -8,4: (-7); 15:(- 0,3).
3. Решите уравнение: (слайд 5)
3x=27; -5 x=-45; x:(2,5)=5.
3.Математический диктант (слайд 6,7)
Вариант 1
Вариант 2
Учащиеся меняются тетрадями, выполняют проверку и ставят оценку.
4. Выполнение теста (слайд 8)
Когда-то в старину на Руси отсчет лет вели с 1 марта, с начала сельскохозяйственной весны, с первой весенней капели. Март был «зачинателем» года. Название месяца «март» идет от римлян. Они назвали этот месяц в честь одного из своих богов, узнать, что это за бог, вам поможет тест.
Ответ: Мартиус
У римлян один месяц года в честь бога войны Марса был назван мартиусом. На Руси это название упростили, взяв лишь первые четыре буквы.(Слайд 9).
В народе говорят: « Март неверен, то плачет, то смеется». С мартом связано много народных примет. Некоторые дни его имеют свои названия. Давайте сейчас все вместе мы составим народный месяцеслов на март.
5.Решение упражнений
Учащиеся у доски решают примеры, ответы которых являются днями месяца. На доске появляется пример, а затем день месяца с названием и народной приметой.
(Слайды с 10 по 19)
4 марта - Архип. На Архипа женщинам полагалось весь день провести на кухне. Чем больше она наготовит всякой еды, тем богаче будет дом.
2) y×(-2,5)=-15
6 марта - Тимофей-весновой. Коли в Тимофеев день снежок задулинами, то урожай на яровые.
3) -50, 4:x=-4, 2
4) -0,25:5×(-260)
13 марта - Василий-капельник: с крыш каплет. Птицы гнезда завивают, а перелетные летят из теплых мест.
5) -29,12: (-2,08)
14 марта - Евдокия (Авдотья-плющиха) - снег плющит настом. Вторая встреча весны (первая на Стретение). Какова Евдокия - таково и лето. Евдокия красна - и весна красна; на Евдокию снег - к урожаю.
6) (-6-3,6×2,5) ×(-1)
7) -81,6:48×(-10)
17 марта - Герасим-грачевник - грачей пригнал. Грачи на пашню садятся, а коли прямо на гнезда летят - дружная весна будет.
8) 7,15×(-4): (-1,3)
22 марта - Сороки - день равен ночи. Зима кончается, весна начинается, прилетают жаворонки. По старинному обычаю из теста пекут жаворонков и куликов.
9) -12,5×50: (-25)
10) 100+(-2,1:0,03)
30 марта - Алексей-теплый. С гор вода, а рыба со стану (с зимовья). Каковы в этот день ручьи (большие или малые), такова и пойма (разлив).
6. Итог урока
Ребята, понравился ли вам сегодняшний урок? Что нового вы сегодня узнали? Что мы повторили? Я предлагаю вам подготовить самим месяцеслов на апрель. Вы должны найти приметы апреля и составить примеры с ответами, соответствующими дню месяца.
7. Домашнее задание: стр. 218 №1174, 1179(1) (Слайд20)