Итак, поговорим на тему, которая интересует очень многих. В данной статье я вам отвечу на вопрос о том, как рассчитать вероятность события. Приведу формулы для такого расчета и несколько примеров, чтобы было понятнее, как это делается.

Что такое вероятность

Начнем с того, что вероятность того, что то или иное событие произойдет – некая доля уверенности в конечном наступлении какого-то результата. Для этого расчета разработана формула полной вероятности, позволяющая определить, наступит интересующее вас событие или нет, через, так называемые, условные вероятности. Эта формула выглядит так: Р = n/m, буквы могут меняться, но на саму суть это никак не влияет.

Примеры вероятности

На простейшем примере разберем эту формулу и применим ее. Допустим, у вас есть некое событие (Р), пусть это будет бросок игральной кости, то есть равносторонний кубик. И нам требуется подсчитать, какова вероятность выпадения на нем 2 очков. Для этого нужно число положительных событий (n), в нашем случае – выпадение 2 очков, на общее число событий (m). Выпадение 2 очков может быть только в одном случае, если на кубике будет по 2 очка, так как по другому, сумма будет больше, из этого следует, что n = 1. Далее подсчитываем число выпадения любых других цифр на кости, на 1 кости – это 1, 2, 3, 4, 5 и 6, следовательно, благоприятных случаев 6, то есть m = 6. Теперь по формуле делаем нехитрое вычисление Р = 1/6 и получаем, что выпадение на кости 2 очков равно 1/6, то есть вероятность события очень мала.

Еще рассмотрим пример на цветных шарах, которые лежат в коробке: 50 белых, 40 черных и 30 зеленых. Нужно определить какова вероятность вытащить шар зеленого цвета. И так, так как шаров этого цвета 30, то есть, положительных событий может быть только 30 (n = 30), число всех событий 120, m = 120 (по общему количеству всех шаров), по формуле рассчитываем, что вытащить зеленый шар вероятность равна будет Р = 30/120 = 0,25, то есть 25 % из 100. Таким же образом, можно вычислить и вероятность вытащить шар другого цвета (черного она будет 33%, белого 42%).

Хотите узнать, какие математические шансы на успех вашей ставки? Тогда для вас есть две хорошие новости. Первая: чтобы посчитать проходимость, не нужно проводить сложные расчеты и тратить большое количество времени. Достаточно воспользоваться простыми формулами, работа с которыми займёт пару минут. Вторая: после прочтения этой статьи вы с лёгкостью сможете рассчитывать вероятность прохода любой вашей сделки.

Чтобы верно определить проходимость, нужно сделать три шага:

• Рассчитать процент вероятности исхода события по мнению букмекерской конторы;
• Вычислить вероятность по статистическим данным самостоятельно;
• Узнать ценность ставки, учитывая обе вероятности.

Рассмотрим подробно каждый из шагов, применяя не только формулы, но и примеры.

Быстрый переход

Подсчёт вероятности, заложенной в букмекерские коэффициенты

Первый шаг – необходимо узнать, с какой вероятностью оценивает шансы на тот или иной исход сам букмекер. Ведь понятно, что кэфы букмекерские конторы не ставят просто так. Для этого пользуемся следующей формулой:

P Б =(1/K)*100%,

где P Б – вероятность исхода по мнению букмекерской конторы;

K – коэффициент БК на исход.

Допустим, на победу лондонского Арсенала в поединке против Баварии коэффициент 4. Это значит, что вероятность его виктории БК расценивают как (1/4)*100%=25%. Или же Джокович играет против Южного. На победу Новака множитель 1.2, его шансы равны (1/1.2)*100%=83%.

Так оценивает шансы на успех каждого игрока и команды сама БК. Осуществив первый шаг, переходим ко второму.

Расчёт вероятности события игроком

Второй пункт нашего плана – собственная оценка вероятности события. Так как мы не можем учесть математически такие параметры как мотивация, игровой тонус, то воспользуемся упрощённой моделью и будем пользоваться только статистикой предыдущих встреч. Для расчёта статистической вероятности исхода применяем формулу:

P И =(УМ/М)*100%,

где P И – вероятность события по мнению игрока;

УМ – количество успешных матчей, в которых такое событие происходило;

М – общее количество матчей.

Чтобы было понятней, приведём примеры. Энди Маррей и Рафаэль Надаль сыграли между собой 14 матчей. В 6 из них был зафиксирован тотал меньше 21 по геймам, в 8 – тотал больше. Необходимо узнать вероятность того, что следующий поединок будет сыгран на тотал больше: (8/14)*100=57%. Валенсия сыграла на Месталье против Атлетико 74 матча, в которых одержала 29 побед. Вероятность победы Валенсии: (29/74)*100%=39%.

И это все мы узнаем только благодаря статистике предыдущих игр! Естественно, что на какую-то новую команду или игрока такую вероятность просчитать не получится, поэтому такая стратегия ставок подойдет только для матчей, в которых соперники встречаются не первый раз. Теперь мы умеем определять букмекерскую и собственную вероятности исходов, и у нас есть все знания, чтобы перейти к последнему шагу.

Определение ценности ставки

Ценность (валуйность) пари и проходимость имеют непосредственную связь: чем выше валуйность, тем выше шанс на проход. Рассчитывается ценность следующим образом:

V= P И *K-100%,

где V – ценность;

P И – вероятность исхода по мнению беттера;

K – коэффициент БК на исход.

Допустим, мы хотим поставить на победу Милана в матче против Ромы и подчитали, что вероятность победы «красно-черных» 45%. Букмекер предлагает нам на это исход коэффициент 2.5. Будет ли такое пари ценным? Проводим расчёты: V=45%*2.5-100%=12.5%. Отлично, перед нами ценная ставка с хорошими шансами на проход.

Возьмём другой случай. Мария Шарапова играет против Петры Квитовой. Мы хотим заключить сделку на победу Марии, вероятность которой по нашим расчетам 60%. Конторы предлагают на этот исход множитель 1.5. Определяем валуйность: V=60%*1.5-100=-10%. Как видим, ценности эта ставка не представляет и от неё следует воздержаться.

Понимаю, что всем хочется заранее знать, как завершится спортивное мероприятие, кто одержит победу, а кто проиграет. Обладая подобной информацией, можно без страха делать ставки на спортивные мероприятия. Но можно ли вообще и если да, то как рассчитать вероятность события?

Вероятность – это величина относительная, поэтому не может с точностью говорить о каком-либо событии. Данная величина позволяет проанализировать и оценить необходимость совершения ставки на то или иное соревнование. Определение вероятностей – это целая наука, требующая тщательного изучения и понимания.

Коэффициент вероятности в теории вероятности

В ставках на спорт есть несколько вариантов исхода соревнования:

• победа первой команды;
• победа второй команды;
• ничья;
• тотал.

У каждого исхода соревнования есть своя вероятность и частота, с которой данное событие совершится при условии сохранения начальных характеристик. Как уже говорили ранее, невозможно точно рассчитать вероятность какого-либо события – оно может совпасть, а может и не совпасть. Таким образом, ваша ставка может как выиграть, так и проиграть.

Точного 100% предугадывания результатов соревнования не может быть, так как на исход матча влияет множество факторов. Естественно, и букмекеры не знают заранее исход матча и лишь предполагают результат, принимая решение на своей системе анализа и предлагают определенные коэффициенты для ставок.

Как посчитать вероятность события?

Допустим, что коэффициент букмекера равен 2. 1/2 – получаем 50%. Получается, что коэффициент 2 равен вероятности 50%. По тому же принципу можно получить безубыточный коэффициент вероятности – 1/вероятность.

Многие игроки думают, что после нескольких повторяющихся поражений, обязательно произойдет выигрыш — это ошибочное мнение. Вероятность выигрыша ставки не зависит от количества поражений. Даже если вы выбрасываете несколько орлов подряд в игре с монеткой, вероятность выбрасывания решки останется прежней – 50%.

1. Формулы для вычисления вероятности событий

1.3.1. Последовательность независимых испытаний (схема Бернулли)

Предположим, что некоторый эксперимент можно проводить неоднократно при одних и тех же условиях. Пусть этот опыт производится n раз, т. е. проводится последовательность из n испытаний.

Определение. Последовательность n испытаний называют взаимно независимой , если любое событие, связанное с данным испытанием, не зависит от любых событий, относящихся к остальным испытаниям.

Допустим, что некоторое событие A может произойти с вероятностью p в результате одного испытания или не произойти с вероятностью q = 1- p .

Определение . Последовательность из n испытаний образует схему Бернулли, если выполняются следующие условия:

последовательность n испытаний взаимно независима,

2) вероятность события A не изменяется от испытания к испытанию и не зависит от результата в других испытаниях.

Событие A называют “ успехом” испытания, а противоположное событие - “неудачей”. Рассмотрим событие

={ в n испытаниях произошло ровно m “успехов”}.

Для вычисления вероятности этого события справедлива формула Бернулли

p () =
, m = 1, 2, …, n , (1.6)

где - число сочетаний из n элементов по m :

=
=
.

Пример 1.16. Три раза подбрасывают кубик. Найти:

а) вероятность того, что 6 очков выпадет два раза;

б) вероятность того, что число шестерок не появится более двух раз.

Решение . “Успехом” испытания будем считать выпадение на кубике грани с изображением 6 очков.

а) Общее число испытаний – n =3, число “успехов” – m = 2. Вероятность “успеха” - p =, а вероятность “неудачи” - q = 1 - =. Тогда по формуле Бернулли вероятность того, что результате трехразового бросания кубика два раза выпадет сторона с шестью очками, будет равна

.

б) Обозначим через А событие, которое заключается в том, что грань с числом очков 6 появится не более двух раз. Тогда событие можно представить в виде суммы трех несовместных событий А=
,

где В 3 0 – событие, когда интересующая грань ни разу не появится,

В 3 1 - событие, когда интересующая грань появится один раз,

В 3 2 - событие, когда интересующая грань появится два раза.

По формуле Бернулли (1.6) найдем

p (А ) = р (
) = p (
)=
+
+
=

=
.

1.3.2. Условная вероятность события

Условная вероятность отражает влияние одного события на вероятность другого. Изменение условий, в которых проводится эксперимент, также влияет

на вероятность появления интересующего события.

Определение. Пусть A и B – некоторые события, и вероятность p (B )> 0.

Условной вероятностью события A при условии, что “событие B уже произошло” называется отношение вероятности произведения данных событий к вероятности события, которое произошло раньше, чем событие, вероятность которого требуется найти. Условная вероятность обозначается как p (A  B ). Тогда по определению

p (A  B ) =
. (1.7)

Пример 1.17. Подбрасывают два кубика. Пространство элементарных событий состоит из упорядоченных пар чисел

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6).

В примере 1.16 было установлено, что событие A ={число очков на первом кубике > 4} и событие C ={сумма очков равна 8} зависимы. Составим отношение

.

Это отношение можно интерпретировать следующим образом. Допустим, что о результате первого бросания известно, что число очков на первом кубике > 4. Отсюда следует, что бросание второго кубика может привести к одному из 12 исходов, составляющих событие A :

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) .

При этом событию C могут соответствовать только два из них (5,3) (6,2). В этом случае вероятность события C будет равна
. Таким образом, информация о наступлении событияA оказала влияние на вероятность события C .

Вероятность произведения событий

Теорема умножения

Вероятность произведения событий A 1 A 2  A n определяется формулой

p (A 1 A 2  A n ) = p (A 1) p (A 2  A 1)) p (A n  A 1 A 2  A n- 1). (1.8)

Для произведения двух событий отсюда следует, что

p (AB ) = p (A  B) p {B ) = p (B  A ) p {A ). (1.9)

Пример 1.18. В партии из 25 изделий 5 изделий бракованных. Последовательно наугад выбирают 3 изделия. Определить вероятность того, что все выбранные изделия бракованные.

Решение. Обозначим события:

A 1 = {первое изделие бракованное},

A 2 = {второе изделие бракованное},

A 3 = {третье изделие бракованное},

A = {все изделия бракованные}.

Событие А есть произведение трех событий A = A 1 A 2 A 3 .

Из теоремы умножения (1.6) получим

p (A ) = р( A 1 A 2 A 3 ) = p (A 1) p (A 2  A 1))p (A 3  A 1 A 2).

Классическое определение вероятности позволяет найти p (A 1) – это отношение числа бракованных изделий к общему количеству изделий:

p (A 1)= ;

p (A 2) – это отношение числа бракованных изделий, оставшихся после изъятия одного, к общему числу оставшихся изделий:

p (A 2  A 1))= ;

p (A 3) – это отношение числа бракованных изделий, оставшихся после изъятия двух бракованных, к общему числу оставшихся изделий:

p (A 3  A 1 A 2)=.

Тогда вероятность события A будет равна

p (A ) ==
.

Возникновение теории вероятностей относится к середине XVII века, когда математики заинтересовались задачами, поставленными азартными игроками и до сих пор не изучавшимися в математике. В процессе решения этих задач выкристаллизовались такие понятия, как вероятность и математическое ожидание. При этом ученые того времени – Гюйгенс (1629-1695), Паскаль (1623-1662), Ферма (1601-1665) и Бернулли (1654-1705) были убеждены, что на базе массовых случайных событий могут возникать четкие закономерности. И только состояние естествознания привело к тому, что азартные игры еще долго продолжали оставаться тем почти единственным конкретным материалом, на базе которого создавались понятия и методы теории вероятностей. Это обстоятельство накладывало отпечаток и на формально-математический аппарат, посредством которого решались возникавшие в теории вероятностей задачи: он сводился исключительно к элементарно-арифметическим и комбинаторным методам.

Серьезные требования со стороны естествознания и общественной практики (теория ошибок наблюдения, задачи теории стрельбы, проблемы статистики, в первую очередь статистики народонаселения) привели к необходимости дальнейшего развития теории вероятностей и привлечения более развитого аналитического аппарата. Особенно значительную роль в развитии аналитических методов теории вероятностей сыграли Муавр (1667-1754), Лаплас (1749-1827), Гаусс (1777-1855), Пуассон (1781-1840). С формально-аналитической стороны к этому же направлению примыкает работа создателя неевклидовой геометрии Лобачевского (1792-1856), посвященная теории ошибок при измерениях на сфере и выполненная целью установления геометрической системы, господствующей во вселенной.

Теория вероятностей, подобно другим разделам математики, развилась из потребностей практики: в абстрактной форме она отражает закономерности, присущие случайным событиям массового характера. Эти закономерности играют исключительно важную роль в физике и других областях естествознания, разнообразнейших технических дисциплинах, экономике, социологии, биологии. В связи с широким развитием предприятий, производящих массовую продукцию, результаты теории вероятностей стали использоваться не только для браковки уже изготовленной продукции, но и для организации самого процесса производства (статистический контроль в производстве).

Основные понятия теории вероятностей

Теория вероятностей объясняет и исследует различные закономерности, которым подчинены случайные события и случайные величины. Событием является любой факт, который можно констатировать в результате наблюдения или опыта. Наблюдением или опытом называют реализацию определенных условий, в которых событие может состояться.

Опыт означает, что упомянутый комплекс обстоятельств создан сознательно. В ходе наблюдения сам наблюдающий комплекс этих условий не создает и не влияет на него. Его создают или силы природы или другие люди.

Что нужно знать, чтобы определять вероятности событий

Все события, за которыми люди наблюдают или сами создают их, делятся на:

• достоверные события;
• невозможные события;
• случайные события.

Достоверные события наступают всегда, когда создан определенный комплекс обстоятельств. Например, если работаем, то получаем за это вознаграждение, если сдали экзамены и выдержали конкурс, то достоверно можем рассчитывать на то, что включены в число студентов. Достоверные события можно наблюдать в физике и химии. В экономике достоверные события связаны с существующим общественным устройством и законодательством. Например, если мы вложили деньги в банк на депозит и выразили желание в определенный срок их получить, то деньги получим. На это можно рассчитывать как на достоверное событие.

Невозможные события определенно не наступают, если создался определенный комплекс условий. Например, вода не замерзает, если температура составляет плюс 15 градусов по Цельсию, производство не ведется без электроэнергии.

Случайные события при реализации определенного комплекса условий могут наступить и могут не наступить. Например, если мы один раз подбрасываем монету, герб может выпасть, а может не выпасть, по лотерейному билету можно выиграть, а можно не выиграть, произведенное изделие может быть годным, а может быть бракованным. Появление бракованного изделия является случайным событием, более редким, чем производство годных изделий.

Ожидаемая частота наступления случайных событий тесно связана с понятием вероятности. Закономерности наступления и ненаступления случайных событий исследует теория вероятностей.

Если комплекс нужных условий реализован лишь один раз, то получаем недостаточно информации о случайном событии, поскольку оно может наступить, а может не наступить. Если комплекс условий реализован много раз, то появляются известные закономерности. Например, никогда невозможно узнать, какой кофейный аппарат в магазине потребует очередной покупатель, но если известны марки наиболее востребованных в течение длительного времени кофейных аппаратов, то на основе этих данных возможно организовать производство или поставки, чтобы удовлетворить спрос.

Знание закономерностей, которым подчинены массовые случайные события, позволяет прогнозировать, когда эти события наступят. Например, как уже ранее отмечено, заранее нельзя предусмотреть результат бросания монеты, но если монета брошена много раз, то можно предусмотреть выпадение герба. Ошибка может быть небольшой.

Методы теории вероятностей широко используются в различных отраслях естествознания, теоретической физике, геодезии, астрономии, теории автоматизированного управления, теории наблюдения ошибок, и во многих других теоретических и практических науках. Теория вероятностей широко используется в планировании и организации производства, анализе качества продукции, анализе технологических процессов, страховании, статистике населения, биологии, баллистике и других отраслях.

Случайные события обычно обозначают большими буквами латинского алфавита A, B, C и т.д.

Случайные события могут быть:

• несовместными;
• совместными.

События A, B, C … называют несовместными , если в результате одного испытания может наступить одно из этих событий, но невозможно наступление двух или более событий.

Если наступление одного случайного события не исключает наступление другого события, то такие события называют совместными . Например, если с ленты конвейера снимают очередную деталь и событие А означает «деталь соответствует стандарту», а событие B означает «деталь не соответствует стандарту», то A и B – несовместные события. Если событие C означает «взята деталь II сорта», то это событие совместно с событием A, но несовместно с событием B.

Если в каждом наблюдении (испытании) должно произойти одно и только одно из несовместных случайных событий, то эти события составляют полное множество (систему) событий .

Достоверным событием является наступление хотя бы одного события из полного множества событий.

Если события, образующие полное множество событий, попарно несовместны , то в результате наблюдения может наступить только одно из этих событий. Например, студент должен решить две задачи контрольной работы. Определенно произойдет одно и только одно из следующих событий:

• будет решена первая задача и не будет решена вторая задача;
• будет решена вторая задача и не будет решена первая задача;
• будут решены обе задачи;
• не будет решена ни одна из задач.

Эти события образуют полное множество несовместных событий .

Если полное множество событий состоит только из двух несовместных событий, то их называют взаимно противоположными или альтернативными событиями.

Событие, противоположное событию , обозначают . Например, в случае одного подбрасывания монеты может выпасть номинал () или герб ().

События называют равновозможными , если ни у одного из них нет объективных преимуществ. Такие события также составляют полное множество событий. Это значит, что в результате наблюдения или испытания определенно должно наступить по меньшей мере одно из равновозможных событий.

Например, полную группу событий образуют выпадение номинала и герба при одном подбрасывании монеты, наличие на одной печатной странице текста 0, 1, 2, 3 и более 3 ошибок.

Определения и свойства вероятностей

Классическое определение вероятности. Возможностью или благоприятным случаем называют случай, когда при реализации определённого комплекса обстоятельств события А происходят. Классическое определение вероятности предполагает напрямую вычислить число благоприятных случаев или возможностей.

Классическая и статистическая вероятности. Формулы вероятностей: классической и статистической

Вероятностью события А называют отношение числа благоприятных этому событию возможностей к числу всех равновозможных несовместных событий N , которые могут произойти в результате одного испытания или наблюдения. Формула вероятности события А :

Если совершенно понятно, о вероятности какого события идёт речь, то тогда вероятность обозначают маленькой буквой p , не указывая обозначения события.

Чтобы вычислить вероятность по классическому определению, необходимо найти число всех равновозможных несовместных событий и определить, сколько из них благоприятны определению события А .

Пример 1. Найти вероятность выпадения числа 5 в результате бросания игральной кости.

Решение. Известно, что у всех шести граней одинаковая возможность оказаться наверху. Число 5 отмечено только на одной грани. Число всех равновозможных несовместных событий насчитывается 6, из них только одна благоприятная возможность выпадения числа 5 (М = 1). Это означает, что искомая вероятность выпадения числа 5

Пример 2. В ящике находятся 3 красных и 12 белых одинаковых по размеру мячиков. Не глядя взят один мячик. Найти вероятность, что взят красный мячик.

Решение. Искомая вероятность

Найти вероятности самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 3. Бросается игральная кость. Событие B - выпадение чётного числа. Вычислить вероятность этого события.

Пример 5. В урне 5 белых и 7 чёрных шаров. Случайно вытаскивается 1 шар. Событие A - вытянут белый шар. Событие B - вытянут чёрный шар. Вычислить вероятности этих событий.

Классическую вероятность называют также априорной вероятностью, так как её рассчитывают перед началом испытания или наблюдения. Из априорного характера классической вероятности вытекает её главный недостаток: только в редких случаях уже перед началом наблюдения можно вычислить все равновозможные несовместные события и в том числе благоприятные события. Такие возможности обычно возникают в ситуациях, родственных играм.

Сочетания. Если последовательность событий не важна, число возможных событий вычисляют как число сочетаний:

Пример 6. В группе 30 студентов. Трём студентам следует направиться на кафедру информатики, чтобы взять и принести компьютер и проектор. Вычислить вероятность того, что это сделают три определённых студента.

Решение. Число возможных событий рассчитываем, используя формулу (2):

Вероятность того, что на кафедру отправятся три определённых студента:

Пример 7. Продаются 10 мобильных телефонов. Их них у 3 есть дефекты. Покупатель выбрал 2 телефона. Вычислить вероятность того, что оба выбранных телефона будут с дефектами.

Решение. Число всех равновозможных событий находим по формуле (2):

По той же формуле находим число благоприятных событию возможностей:

Искомая вероятность того, что оба выбранных телефона будут с дефектами.